Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu du sujet 31 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première. Il balaye un large spectre du programme, sollicitant des compétences en analyse graphique, en calcul de probabilités, en algèbre (exponentielles et suites) et en géométrie analytique. L'avantage de ce format est qu'il permet de tester la rapidité et la précision des connaissances fondamentales.

Points de vigilance et notions requises

• Second degré : Savoir lier l'orientation de la parabole au signe de $a$ et le nombre d'intersections avec l'axe des abscisses au signe du discriminant $\Delta$.
• Variables Aléatoires : Bien distinguer le gain brut du gain algébrique (mise déduite) et connaître la liste des nombres premiers jusqu'à 30.
• Exponentielle : Maîtriser les propriétés algébriques : $e^a \times e^b = e^{a+b}$ et $e^a / e^b = e^{a-b}$.
• Suites : Attention à l'indice de départ ! La formule du terme général d'une suite arithmétique $u_n = u_p + (n-p)r$ est essentielle ici car la suite commence à $u_1$.
• Géométrie repérée : Un vecteur normal $\vec{u}(a; b)$ à une droite correspond aux coefficients devant $x$ et $y$ dans l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$.

Correction détaillée

Question 1 : La parabole est tournée vers le haut (forme de "U"), donc le coefficient $a$ est strictement positif ($a > 0$). La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts, ce qui signifie que l'équation $f(x)=0$ possède deux solutions réelles. Par conséquent, le discriminant $\Delta$ est strictement positif. La réponse correcte est la a.

Question 2 : Identifions les nombres premiers entre 1 et 30 : {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. Il y en a 10. La probabilité de gagner est $P(G) = 10/30 = 1/3$. Le gain algébrique $X$ prend la valeur $3-1=2$ avec une probabilité de $1/3$, et $0-1=-1$ avec une probabilité de $2/3$. L'espérance est $E(X) = (1/3 \times 2) + (2/3 \times -1) = 2/3 - 2/3 = 0$. La réponse correcte est la c.

Question 3 : En utilisant les règles de calcul sur l'exponentielle : $\frac{e^6 \times e^3}{e^2} = \frac{e^{6+3}}{e^2} = \frac{e^9}{e^2} = e^{9-2} = e^7$. La réponse correcte est la c.

Question 4 : La suite est arithmétique de premier terme $u_1 = 2$ et de raison $r = -5$. La formule est $u_n = u_1 + (n-1)r$. En remplaçant : $u_n = 2 + (n-1)(-5) = 2 - 5n + 5 = 7 - 5n$. La réponse correcte est la c.

Question 5 : Un vecteur normal $\vec{u}(-1; 2)$ correspond à une droite d'équation $-1x + 2y + c = 0$. En multipliant tous les coefficients par 4 (ce qui ne change pas la droite), on obtient $-4x + 8y + 4c = 0$. La proposition d ($ -4x + 8y = 0 $) correspond exactement à cette structure avec $c=0$.