Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la modélisation de deux phénomènes d'évolution distincts à l'aide des suites numériques. Le premier modèle (complexe cinématographique) suit une croissance exponentielle discrète, caractéristique d'une suite géométrique, tandis que le second modèle (cinéma de centre-ville) suit une décroissance linéaire, typique d'une suite arithmétique. L'interaction entre ces deux modèles est enfin étudiée via un algorithme Python.

Points de vigilance et notions clés

• Taux d'évolution : Une augmentation de 4 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + \frac{4}{100} = 1,04$.
• Nature des suites : Savoir justifier le passage de $u_n$ à $u_{n+1}$ (multiplication ou addition constante).
• Formules explicites : Pour une suite géométrique, $u_n = u_0 \times q^n$. Pour une suite arithmétique, $v_n = v_0 + n \times r$.
• Boucles Python : Comprendre qu'une boucle while s'arrête dès que la condition n'est plus vérifiée.

Correction détaillée

1. Étude de la suite $(u_n)$

a) En 2019 ($n=1$), le nombre de spectateurs subit une hausse de 4 %. $u_1 = 180 \times 1,04 = 187,2$ (soit 187 200 spectateurs).

b) Chaque année, le nombre de spectateurs est multiplié par 1,04. On a donc la relation $u_{n+1} = 1,04 \times u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $u_0 = 180$ et de raison $q = 1,04$.

c) L'expression explicite est $u_n = u_0 \times q^n$, soit $u_n = 180 \times 1,04^n$.

2. Étude de la suite $(v_n)$ et algorithmique

a) Le cinéma perd 10 000 spectateurs chaque année, soit une diminution constante de 10 (en milliers). On a $v_{n+1} = v_n - 10$. La suite $(v_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r = -10$ et de premier terme $v_0 = 260$.

b) Analyse du programme Python : La boucle while u < v calcule les valeurs successives de $u_n$ et $v_n$ tant que la fréquentation du complexe reste inférieure à celle du centre-ville. Calculons les itérations :
• $n=0 : u=180, v=260$
• $n=1 : u=187,2, v=250$
• $n=2 : u\approx 194,7, v=240$
• $n=3 : u\approx 202,5, v=230$
• $n=4 : u\approx 210,6, v=220$
• $n=5 : u\approx 219,0, v=210$
À $n=5$, la condition $u < v$ est fausse car $219,0 \geq 210$. La valeur renvoyée est 5. Dans le contexte, cela signifie qu'en 2023 ($2018+5$), la fréquentation du nouveau complexe dépassera pour la première fois celle du cinéma de centre-ville.