Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité, présenté sous forme de QCM (Questionnaire à Choix Multiples), balaie les fondamentaux de la géométrie et de la trigonométrie. Il évalue la capacité de l'élève à mobiliser rapidement des formules de calcul analytique (coordonnées) et des propriétés géométriques (orthogonalité, équations de cercles, parité du cosinus).

Points de vigilance et notions requises

• Produit scalaire : Utilisation de la formule analytique dans un repère orthonormé : $xx' + yy'$.
• Norme d'un vecteur : Connaître la formule de la distance $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Propriétés du triangle équilatéral : Savoir que les hauteurs, médiatrices et médianes sont confondues.
• Trigonométrie : Comprendre les relations de parité sur le cercle trigonométrique, notamment $\cos(-x) = \cos(x)$.
• Équation de cercle : Savoir passer de la forme développée $x^2 + ax + y^2 + by = c$ à la forme réduite $(x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = R^2$ pour identifier le centre.

Correction détaillée

Question 1 : On utilise les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}\binom{-4}{3}$ et $\vec{CB}\binom{-1}{5}$. Le produit scalaire est : $\vec{AB} \cdot \vec{CB} = (-4) \times (-1) + 3 \times 5 = 4 + 15 = 19$. La réponse correcte est la c.

Question 2 : La longueur $CB$ correspond à la norme du vecteur $\vec{CB}\binom{-1}{5}$. $CB = \sqrt{(-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$. La réponse correcte est la d.

Question 3 : Dans le triangle équilatéral $ABC$, la droite $(CH)$ est la médiane issue de $C$. Puisque le triangle est équilatéral, $(CH)$ est aussi la hauteur issue de $C$. Ainsi, $(CH) \perp (AB)$. Les vecteurs $\vec{HB}$ (porté par $(AB)$) et $\vec{HC}$ (porté par la hauteur) sont donc orthogonaux. Leur produit scalaire est nul : $\vec{HB} \cdot \vec{HC} = 0$. La réponse correcte est la a.

Question 4 : La fonction cosinus est paire, ce qui signifie que pour tout réel $x$, $\cos(-x) = \cos(x)$. Si $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, alors $\cos(-x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. La réponse correcte est la a.

Question 5 : Transformons l'équation $x^2 - 2x + (y + 3)^2 = 3$ pour trouver le centre du cercle. $x^2 - 2x$ est le début de l'identité remarquable $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$, donc $x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$. L'équation devient : $(x-1)^2 - 1 + (y+3)^2 = 3$, soit $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 4$. Le centre du cercle a pour coordonnées $(x_C~;~y_C)$ telles que $x-x_C = x-1$ et $y-y_C = y+3$. On obtient $x_C = 1$ et $y_C = -3$. La réponse correcte est la b.