Analyse Globale du Sujet 2 - Première Spécialité Mathématiques (2020)

Ce sujet de la session 2020 constitue un excellent support d'entraînement pour les élèves de Première Spécialité Mathématiques. Il balaye un spectre large du programme : de l'analyse avec la fonction exponentielle à la géométrie vectorielle, en passant par les probabilités et les suites numériques. La difficulté est équilibrée, mêlant questions de cours directes (QCM) et problèmes de modélisation plus concrets. L'objectif est de vérifier non seulement la maîtrise technique, mais aussi la capacité à traduire un énoncé réel en langage mathématique.

Exercice 1 : QCM Multi-Thématiques (Exponentielle et Géométrie)

L'exercice 1 se présente sous la forme d'un QCM classique de 5 points. Il traite principalement de deux chapitres : la fonction exponentielle et la géométrie repérée.

• Notions clés : Signe de l'exponentielle, dérivation de $e^{u(x)}$, équations cartésiennes de droites (vecteur normal) et équation de cercle.
• Pièges à éviter : Dans la question 1, rappelez-vous que l'exponentielle est toujours strictement positive sur $\mathbb{R}$, peu importe l'exposant. Pour la question 3, l'erreur classique consiste à oublier le coefficient multiplicateur devant l'exponentielle lors de la dérivation de $e^{ax+b}$.
• Conseils méthodologiques : Pour l'équation du cercle (question 5), la méthode de la forme canonique est indispensable. Identifiez $x^2 - 4x$ comme le début de $(x-2)^2 - 4$ pour trouver les coordonnées du centre.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Indépendance

Cet exercice de probabilités s'appuie sur une situation concrète (salon de coiffure). Il demande de jongler entre données brutes et probabilités conditionnelles.

• Notions clés : Arbre pondéré, probabilités totales, indépendance d'événements.
• Analyse : La difficulté réside dans l'interprétation de l'énoncé. "Parmi ceux qui ne veulent pas de couleur-soin, 30% demandent un effet coup de soleil" se traduit par $P_{\overline{C}}(E) = 0,3$.
• Conseils : Construisez systématiquement un arbre de probabilités avant de répondre aux questions. Pour vérifier l'indépendance à la question 4, comparez $P(C \cap E)$ avec $P(C) \times P(E)$. Si les valeurs diffèrent, les événements ne sont pas indépendants.

Exercice 3 : Suites Géométriques et Algorithmique Python

L'exercice 3 lie les mathématiques financières (ou d'épargne) aux suites numériques et à la programmation Python.

• Notions clés : Suite géométrique ($u_{n+1} = q \times u_n$), somme des termes d'une suite géométrique, boucle "Tant que" (While).
• Algorithmique : On demande de compléter un script Python pour trouver un seuil. La condition du "Tant que" est $S < 100000$. Tant que la somme n'a pas atteint le prix de l'appartement, on continue d'ajouter des termes.
• Application concrète : La partie B demande d'utiliser le résultat de la somme calculée en partie A. C'est une question de bon sens : si la somme des 19 premiers termes dépasse 100 000, alors Claude pourra payer l'appartement.

Exercice 4 : Géométrie et Produit Scalaire

Le dernier exercice porte sur une situation de tir au football, modélisée par des vecteurs. C'est une application classique du produit scalaire.

• Notions clés : Calcul du produit scalaire par décomposition (Relation de Chasles), lien entre produit scalaire et cosinus d'un angle.
• Démarche : Pour calculer $\vec{TA} \cdot \vec{TB}$, la méthode la plus efficace est de décomposer les vecteurs en passant par le point D, car le triangle TAD est rectangle en D. On utilise alors la formule : $\vec{TA} \cdot \vec{TB} = TD^2 + \vec{DA} \cdot \vec{DB}$.
• Angle de tir : Une fois la valeur numérique du produit scalaire obtenue (470,88), utilisez la définition $\vec{TA} \cdot \vec{TB} = TA \times TB \times \cos(\widehat{ATB})$ pour isoler le cosinus, puis utilisez la fonction $arccos$ sur votre calculatrice pour trouver l'angle en degrés.

Conclusion

Ce sujet 2 de 2020 est complet et exige une bonne rigueur dans la rédaction, particulièrement en probabilités et en géométrie vectorielle. La maîtrise des outils calculatoires (exponentielle, sommes de suites) est indispensable pour obtenir une note maximale. Pour réussir, entraînez-vous à passer rapidement d'un registre à l'autre (graphique, algébrique, algorithmique).