Introduction au Sujet 25 de Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 25 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première offre un panorama complet des compétences attendues en fin d'année. Ce sujet, structuré en quatre exercices équilibrés de 5 points chacun, balaie les thématiques majeures : le second degré, les suites numériques, les probabilités conditionnelles et la dérivation. La difficulté globale est jugée modérée, mais elle exige une grande rigueur dans l'application des formules fondamentales et une capacité à interpréter des situations concrètes via des outils mathématiques et informatiques (Python).

Exercice 1 : QCM Multi-notions

L'exercice 1 est un QCM qui teste la réactivité des élèves sur des points de cours précis. La Question 1 porte sur l'équation cartésienne d'un cercle. Il est crucial de reconnaître la forme standard $(x-x_C)^2 + (y-y_C)^2 = R^2$. Ici, le rayon est 3 et le centre est $(-1, 1)$. La Question 2 et la Question 3 interrogent la compréhension profonde du second degré. Pour la question 2, il existe une infinité de paraboles passant par deux points (1 et 3) car le coefficient multiplicateur 'a' peut varier. La Question 4 vérifie la maîtrise des propriétés de la fonction exponentielle, notamment $\e^{a+b} = \e^a \times \e^b$. Enfin, la Question 5 sur la géométrie repérée demande de ne pas confondre vecteur directeur $(-b, a)$ et vecteur normal $(a, b)$ pour une droite d'équation $ax+by+c=0$. Piège à éviter : Attention aux signes lors du passage de l'équation cartésienne aux coordonnées du vecteur normal.

Exercice 2 : Probabilités et Variables Aléatoires

Cet exercice plonge l'élève dans l'univers d'un 'Escape Game'. La première étape consiste à construire un arbre pondéré. C'est une étape cruciale : une erreur ici fausse tout l'exercice. Les probabilités conditionnelles sont au cœur du sujet. La formule des probabilités totales est nécessaire pour répondre à la question 3 ($P(M) = P(E \cap M) + P(\overline{E} \cap M)$). La question 4 demande de calculer une probabilité 'inverse' (sachant que l'équipe a réussi Musée, quelle est la probabilité qu'elle ait échoué à Espion ?), ce qui nécessite d'utiliser la définition $P_M(\overline{E}) = \frac{P(M \cap \overline{E})}{P(M)}$. La dernière question introduit une variable aléatoire liée à un gain financier (réduction). Le 'montant moyen' fait référence à l'espérance mathématique $E(X)$. Conseil méthodologique : Toujours vérifier que la somme des probabilités de l'arbre au départ d'un nœud est égale à 1.

Exercice 3 : Suites et Algorithmique Python

L'exercice 3 est un grand classique traitant des suites arithmétiques et géométriques appliquées au climat. La première partie modélise une hausse de température constante (+1,4°C par an), ce qui définit une suite arithmétique. L'élève doit savoir exprimer le terme général $T_n = T_0 + n \times r$ pour résoudre l'inéquation $T_n > 35$. La seconde partie traite d'une baisse de 10% des précipitations. Un taux d'évolution constant correspond toujours à une suite géométrique de raison $q = 1 - 0,10 = 0,9$. La question informatique demande d'analyser une boucle 'While' en Python. Le programme renvoie l'année où le seuil de 300 mm est franchi. Point clé : Ne pas oublier que si l'on baisse de 10%, on multiplie par 0,9.

Exercice 4 : Dérivation et Application Géométrique

Ce dernier exercice se concentre sur l'étude d'une fonction polynôme du second degré $f(x) = -x^2 + 2x + 4$. La détermination des variations passe par le calcul de la dérivée $f'(x) = -2x + 2$ ou par l'utilisation des formules du sommet ($x_S = -b/2a$). L'élève doit ensuite calculer l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ au point d'abscisse 2. La formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ doit être connue par cœur. La question finale est une application concrète : peut-on loger deux logos dans un rectangle coupé par sa diagonale ? Cela revient à comparer la position de la courbe par rapport à la droite passant par $(0, 8)$ et $(4, 0)$. Puisque l'énoncé admet que la courbe est sous sa tangente, et que la tangente en B(2, 4) coïncide avec la diagonale (pente -2), on en déduit la faisabilité. Conseil : Soignez le tracé de la tangente, elle doit être parfaitement alignée avec ses points caractéristiques.

Conclusion

En résumé, ce sujet 25 est un excellent test de synthèse. Il demande une bonne aisance calculatoire (équations, inéquations, dérivées) mais aussi une capacité à modéliser des problèmes réels (climat, économie). Pour réussir, il est essentiel de maîtriser le lien entre le coefficient directeur d'une tangente et la valeur de la dérivée, ainsi que le passage entre pourcentages et suites géométriques.