Analyse Pédagogique du Sujet 37 - Spécialité Mathématiques Première (2020)

Le sujet 37 de l'examen de spécialité mathématiques de 2020 pour la classe de Première offre un panorama complet des compétences attendues en milieu d'année. Ce sujet est structuré en quatre exercices de 5 points chacun, balayant la trigonométrie, le produit scalaire, les suites numériques couplées à l'algorithmique Python, les probabilités conditionnelles et enfin l'étude de fonctions par la dérivation. La difficulté est équilibrée, alliant restitution de connaissances directes et raisonnements plus complexes.

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

L'exercice 1 est un QCM classique de 5 questions qui teste la rapidité et la précision des réflexes mathématiques. Les deux premières questions portent sur la trigonométrie. Il est impératif pour l'élève de maîtriser le cercle trigonométrique, notamment les angles associés (cos(π-x), sin(π+x)) et les valeurs remarquables pour résoudre des équations du type sin(x) = -√3/2. Une erreur courante consiste à confondre le sinus et le cosinus sur les axes.

Les questions 3 et 4 traitent du produit scalaire. La question 3 demande de projeter orthogonalement des vecteurs dans un carré, tandis que la question 4 teste la connaissance des identités remarquables vectorielles. Le piège principal ici réside dans l'orientation des angles et la gestion des signes dans les projections. Enfin, la question 5 aborde la somme des termes d'une suite géométrique. La vigilance est de mise sur le nombre de termes de la somme (de 0 à n, il y a n+1 termes), point critique de la formule de cours.

Exercice 2 : Suites Numériques et Algorithmique Python

Cet exercice met en scène une situation concrète de dépréciation de prix (diminution de 10%). La première étape consiste à identifier le coefficient multiplicateur (1 - 10/100 = 0,9), transformant ainsi le problème en une suite géométrique de raison 0,9.

Pièges à éviter : Ne pas confondre la nature de la suite (arithmétique vs géométrique) et bien arrondir au centime d'euro pour les calculs financiers. La partie Python est un classique de l'épreuve : compléter une boucle While (Tant que). L'élève doit comprendre que la condition de la boucle est le maintien au-dessus du seuil (u >= x) pour que l'algorithme s'arrête dès que le prix passe sous x. La mise à jour de l'indice n (n = n + 1) et de la valeur u (u = u * 0.9) est essentielle.

Exercice 3 : Probabilités Conditionnelles

L'exercice 3 porte sur les liens entre consommation de boissons sucrées et surpoids. C'est un exercice de probabilités conditionnelles très structuré. La première difficulté consiste à traduire l'énoncé textuel en langage probabiliste (par exemple, "un enfant sur 8" devient P_B(S) = 1/8 = 0,125).

Conseils méthodologiques : La construction de l'arbre pondéré est l'étape cruciale. Si l'arbre est faux, toute la suite de l'exercice est compromise. Il faut se souvenir que la somme des probabilités issues d'un même nœud est toujours égale à 1. La formule des probabilités totales permet ensuite de calculer P(S), avant de terminer par une probabilité "inversée" (calculer la cause sachant l'effet) via la formule de Bayes : P_S(B) = P(B ∩ S) / P(S). L'arrondi au millième est une consigne de rigueur à respecter strictement.

Exercice 4 : Analyse et Dérivation

Le dernier exercice porte sur l'étude d'une fonction polynôme de degré 3. C'est le cœur du programme de Première. L'analyse commence par une lecture graphique des extremums (maximum et minimum local). Ensuite, le passage par le calcul formel de la dérivée f'(x) = 3x² + 6x - 9 est nécessaire.

Étude du second degré : Pour trouver le signe de la dérivée, l'élève doit calculer le discriminant (delta) du trinôme de second degré. Les racines trouvées permettront de dresser le tableau de signes de f'(x), et par extension, le tableau de variations de f.

Le point final : L'équation de la tangente au point d'abscisse 0. La formule y = f'(a)(x-a) + f(a) doit être connue par cœur. Ici, a = 0, donc l'équation se simplifie souvent en y = f'(0)x + f(0). Une vérification graphique sur le schéma fourni permet de s'assurer de la cohérence de l'ordonnée à l'origine et de la pente.

Conclusion

Ce sujet 37 est un excellent test de synthèse. Il demande de la rigueur dans les calculs (dérivation, suites) et une bonne capacité d'analyse de documents (probabilités, graphiques). Pour réussir, un élève de Première Spécialité doit particulièrement travailler la transition entre les énoncés concrets et les modèles mathématiques (suites et probabilités) ainsi que la maîtrise technique du second degré appliquée à l'étude de fonctions.