Analyse du Sujet de Première Spécialité Mathématiques (E3C n°14)

Le sujet 14 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première offre un tour d'horizon complet des notions fondamentales du programme. Ce sujet se distingue par son équilibre entre l'algèbre, l'analyse, la géométrie repérée et l'algorithmique. La difficulté est jugée modérée, mais elle exige une grande rigueur dans l'application des formules classiques et une bonne capacité à interpréter des graphiques.

Exercice 1 : QCM Polyvalent (5 points)

L'exercice 1 est un QCM classique couvrant cinq thématiques distinctes. La Question 1 porte sur le second degré. Pour résoudre l'inéquation $x^2 + x + 2 > 0$, l'élève doit calculer le discriminant ($\Delta = -7$). Comme $\Delta < 0$ et que le coefficient $a=1$ est positif, le trinôme est toujours strictement positif. Le piège ici est de chercher des racines réelles qui n'existent pas.

La Question 2 mobilise les propriétés du produit scalaire. Il faut utiliser l'identité remarquable vectorielle : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$. Un oubli fréquent est le double produit scalaire. Ici, le calcul donne $9 + 4 + 2(-1) = 11$.

La Question 3 traite des probabilités conditionnelles. L'application directe de la formule $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ permet d'obtenir rapidement le résultat ($0,5 \times 0,2 = 0,1$).

La Question 4 concerne les suites arithmétiques. La difficulté réside dans le calcul du nombre de termes pour la somme $S$. De $u_0$ à $u_{12}$, il y a 13 termes. La formule $S = (\text{nb de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ est indispensable. Il faut d'abord calculer $u_{12} = 2 + 12 \times 3 = 38$, d'où $S = 13 \times \frac{2 + 38}{2} = 260$.

Enfin, la Question 5 demande de dériver une fonction de la forme $u^n$. Ici, $(u^3)' = 3u'u^2$. Avec $u(x) = 2x-5$, on a $u'(x) = 2$, donc $f'(x) = 3 \times 2 \times (2x-5)^2 = 6(2x-5)^2$.

Exercice 2 : Analyse de Fonction et Systèmes (5 points)

Cet exercice repose sur la lecture graphique et la détermination de coefficients d'une fonction polynomiale de degré 3. Notions clés : L'interprétation des tangentes horizontales est cruciale. Si une tangente est horizontale en $x=a$, alors $f'(a) = 0$. Ici, cela concerne les points G $(-2;5)$ et H $(0;1)$. On en déduit $f(-2)=5, f(0)=1, f'(-2)=0$ et $f'(0)=0$.

Conseils méthodologiques : Commencez toujours par les valeurs les plus simples. L'ordonnée à l'origine $f(0)=1$ donne immédiatement $d=1$. De même, $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. En utilisant $f'(0)=0$, on trouve instantanément $c=0$. Il ne reste alors plus qu'un système de deux équations à deux inconnues ($a$ et $b$) à résoudre en utilisant les informations au point G.

Exercice 3 : Suites et Algorithmique Python (5 points)

L'exercice modélise le refroidissement d'un four par une suite arithmético-géométrique $T_{n+1} = 0,82 T_n + 3,6$. Pièges à éviter : Lors de la complétion du script Python, veillez à respecter la condition de la boucle while. On veut que le four refroidisse jusqu'à ce qu'il soit en dessous de 70°C. La boucle doit donc continuer tant que la température est supérieure ou égale à 70, soit while T >= 70. L'instruction 5 doit simplement traduire la relation de récurrence : T = 0.82 * T + 3.6.

La question 5 demande de déterminer le nombre d'heures. Sans calculatrice programmable, on procède par itérations successives. C'est un exercice de patience où la précision des arrondis intermédiaires est vitale.

Exercice 4 : Géométrie Repérée (5 points)

Le but est de trouver le centre du cercle circonscrit à un triangle. Méthodologie : Le centre du cercle circonscrit est le point d'intersection des médiatrices. 1. Pour vérifier qu'une droite est une médiatrice (Question 2), il suffit de vérifier que les points A et B sont équidistants de n'importe quel point de cette droite, ou plus simplement, que la droite passe par le milieu de [AB] et est perpendiculaire au vecteur $\vec{AB}$. 2. Le point I, centre du cercle, se trouve à l'intersection de la médiatrice de [AB] (donnée) et de la médiatrice de [AC] (à déterminer, ou utiliser le fait que le triangle peut être particulier). 3. Le rayon s'obtient par la formule de la distance entre deux points : $R = IA = \sqrt{(x_A - x_I)^2 + (y_A - y_I)^2}$.

Conclusion

Ce sujet 14 est excellent pour réviser les bases de la classe de Première. Il ne comporte pas de questions extrêmement complexes mais nécessite une maîtrise parfaite des outils de calcul (discriminant, dérivées, suites). Pour réussir, l'élève doit s'entraîner à passer d'une représentation graphique à une écriture algébrique de façon fluide.