Introduction : Un panorama complet du programme de Première

Le sujet 50 de l'année 2020 pour la spécialité Mathématiques en classe de Première constitue un excellent support de révision. Il balaie un spectre très large de compétences, allant de l'analyse de fonctions à la géométrie analytique, en passant par les probabilités et l'algorithmique Python. Ce sujet se distingue par son équilibre entre la théorie pure (QCM) et l'application concrète (problème d'optimisation et suivi d'entraînement sportif).

Exercice 1 : Le QCM de balayage

L'exercice 1 est un QCM de 5 points portant sur les fondamentaux. La Question 1 teste les propriétés de l'exponentielle : il faut se rappeler que $e^a \times e^b = e^{a+b}$. La Question 2 est un classique sur la dérivation : l'équation de la tangente $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ doit être connue par cœur.

La Question 3 porte sur la géométrie repérée. Pour trouver l'équation cartésienne à partir d'un vecteur directeur $\vec{u}(4; 7)$, on utilise la relation $-bx + ay + c = 0$. La Question 4 sur la trigonométrie demande de jongler avec la parité de la fonction cosinus et sa périodicité ($2\pi$). Enfin, la Question 5 sur le second degré nécessite le calcul du discriminant ($\Delta$) pour déterminer le nombre de points d'intersection d'une parabole avec l'axe des abscisses.

Piège à éviter : Dans la question 5, ne pas confondre le signe de la fonction avec le nombre de racines. Ici, le discriminant est nul ($\Delta = 36 - 36 = 0$), ce qui implique une seule racine.

Exercice 2 : Optimisation d'un périmètre

Cet exercice lie la géométrie plane à l'étude de fonctions. L'objectif est de minimiser le périmètre d'un rectangle d'aire fixe ($49$ m²). C'est un problème classique d'optimisation.

• Notions clés : Modélisation d'une situation géométrique par une fonction, calcul de dérivée, étude du signe et tableau de variations.
• Méthodologie : Pour dériver $f(x) = 2x + \frac{98}{x}$, on utilise la formule de la dérivée de $1/x$ qui est $-1/x^2$. On obtient $f'(x) = 2 - \frac{98}{x^2}$.
• Conseil : Toujours mettre la dérivée sur le même dénominateur pour étudier le signe du numérateur (ici un polynôme du second degré).

On découvre finalement que le périmètre est minimal lorsque le rectangle est un carré (c'est-à-dire $x = 7$).

Exercice 3 : Probabilités et coût de finition

L'exercice 3 porte sur les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires. L'élève doit construire un arbre pondéré pour organiser les données sur les types de véhicules (Citadine/Routière) et les finitions (Sport/Luxe).

• Point de vigilance : La formule des probabilités totales est indispensable pour calculer $P(L)$. Il faut sommer les probabilités des chemins menant à la finition Luxe.
• Variable aléatoire : L'espérance $E(X)$ représente ici le tarif moyen que le constructeur peut espérer par client. Le calcul $\sum P(X=x_i) \cdot x_i$ doit être rigoureux.

Exercice 4 : Suites numériques et Python

Le dernier exercice porte sur les suites arithmétiques modélisant l'entraînement de Fanny. La progression est linéaire (+0,1 m par semaine).

• Python et Algorithmie : La fonction fournie utilise une boucle for. Il faut être attentif aux bornes de la fonction range. Attention : dans l'énoncé, range(2, n+1) signifie que la boucle s'arrête à $n$.
• Terme général : La suite est arithmétique de premier terme $s_1 = 8$ et de raison $r = 0,1$. L'expression est donc $s_n = 8 + (n-1) \times 0,1$.
• Seuil : Pour trouver à partir de quelle semaine elle atteint 12 m, on résout l'inéquation $s_n \geq 12$, ce qui demande une manipulation algébrique simple mais précise.

Conclusion

Ce sujet 50 est très complet. Il demande une bonne maîtrise technique (dérivées, calculs de probabilités) mais aussi une capacité d'analyse pour passer d'un énoncé textuel à une modélisation mathématique (Suites et Optimisation). Pour réussir, la régularité dans l'apprentissage des formules de base (dérivées usuelles et formules des suites) est la clé.