Analyse du Sujet 22 - Épreuve de Première Spécialité Mathématiques (2020)

Le sujet 22 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première constitue un excellent support de révision. Il balaye un large spectre du programme, allant de l'analyse fonctionnelle aux probabilités conditionnelles, en passant par les suites numériques et la géométrie analytique. La difficulté globale est jugée équilibrée, avec un mélange de lecture graphique, de calculs algébriques et de modélisation algorithmique.

Exercice 1 : QCM Multithématique

Cet exercice de type QCM teste les réflexes fondamentaux sur cinq notions distinctes :

• Question 1 & 2 (Dérivation) : L'élève doit savoir interpréter graphiquement le nombre dérivé comme le coefficient directeur d'une tangente. Pour la question 2, l'application de la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ est indispensable. Piège : Attention à ne pas confondre l'image $f(a)$ et le nombre dérivé $f'(a)$.
• Question 3 (Exponentielle) : Utilisation des propriétés algébriques de la fonction exponentielle. La maîtrise de $\frac{e^a \times e^b}{e^c} = e^{a+b-c}$ est ici évaluée.
• Question 4 & 5 (Second Degré) : Identification de la forme développée à partir d'un graphique (racines et signe de $a$). Pour l'inéquation, le tableau de signe fondé sur les racines est la méthode la plus sûre.

Exercice 2 : Suites Numériques et Algorithmique Python

L'exercice porte sur une diminution annuelle de production de déchets, ce qui se traduit mathématiquement par une suite géométrique.

Notions clés : Coefficient multiplicateur lié à une baisse de 1,5% ($1 - 0,015 = 0,985$). L'élève doit passer de la relation de récurrence $d_{n+1} = 0,985 d_n$ à la forme explicite $d_n = 537 \times 0,985^n$.

Python : La structure de la boucle While est classique. La condition d'arrêt (d > 513) et l'actualisation de la variable d sont les points cruciaux. Conseil : Vérifiez toujours la valeur d'initialisation de $n$ pour ne pas décaler l'année finale.

Exercice 3 : Géométrie Repérée

Cet exercice demande une rigueur syntaxique sur les équations de droites.

• Vecteur Normal : À partir de $-x + 3y + 2 = 0$, on extrait immédiatement $\vec{n}(-1 ; 3)$.
• Orthogonalité : Pour trouver la droite perpendiculaire, on utilise le fait que le vecteur normal de l'une est le vecteur directeur de l'autre (ou on utilise le produit scalaire nul).
• Projeté Orthogonal : Le point $H$ est l'intersection de deux droites. La résolution d'un système de deux équations à deux inconnues est nécessaire.

Exercice 4 : Probabilités Conditionnelles

C'est la partie la plus originale du sujet, utilisant la méthode de la "réponse randomisée".

Analyse du protocole : L'arbre est la clé. Il faut distinguer les réponses forcées (le dé tombe sur 5 ou 6) des réponses sincères. L'énoncé donne $p(O) = 3/5$, ce qui permet de poser une équation à une inconnue $p$.

Méthodologie : La formule des probabilités totales est utilisée pour exprimer $p(O)$ en fonction de $p$. Le calcul final demande une grande précision dans la manipulation des fractions irréductibles. La dernière question sur la probabilité inverse $P_{N}(\overline{C})$ fait appel à la définition de la probabilité conditionnelle $P(A \cap B) / P(B)$.

Conclusion et conseils de révision

Pour réussir ce type de sujet, il est essentiel de maîtriser le lien entre l'analyse graphique et le calcul algébrique. La partie probabilités exige une lecture très attentive de l'énoncé pour construire un arbre pondéré sans erreur. Enfin, n'oubliez pas de réviser les bases de la syntaxe Python, car l'algorithmique est désormais systématique dans les épreuves de spécialité.