Introduction au Sujet 35 - Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 35 de l'année 2020 pour l'épreuve de spécialité mathématiques en classe de Première propose un panorama équilibré du programme. Ce sujet, initialement conçu pour les E3C, teste la capacité des élèves à mobiliser des connaissances variées allant de l'analyse fonctionnelle à la géométrie analytique, en passant par les suites et les probabilités. D'un niveau de difficulté modéré, il exige cependant une grande rigueur dans l'application des formules classiques et une bonne lecture graphique.

Exercice 1 : QCM et Fondamentaux

Cet exercice de type Questionnaire à Choix Multiples (QCM) balaye cinq thématiques cruciales. La première question porte sur le Second degré. Pour résoudre l'inéquation $3x^2-4x+1\geqslant 0$, l'élève doit calculer le discriminant ($\Delta = 4$) et trouver les racines (1/3 et 1). Le piège classique est de se tromper sur le signe à l'extérieur des racines. Étant donné que le coefficient $a=3$ est positif, la parabole est tournée vers le haut, l'ensemble des solutions est donc l'union des intervalles extérieurs.

Les questions de Géométrie repérée testent l'orthogonalité via le Produit scalaire (condition $xx' + yy' = 0$) et l'équation cartésienne de droite. Pour la droite de vecteur normal $\vv{u}(1;2)$, l'équation est de la forme $1x + 2y + c = 0$. En remplaçant par les coordonnées du point A, on trouve $c=-4$. La partie Suites demande la somme des termes d'une suite géométrique. Attention à l'exposant : de $u_0$ à $u_{10}$, il y a 11 termes, d'où la formule $3 \times \frac{2^{11}-1}{2-1}$. Enfin, la Dérivation d'un quotient $(u/v)$ demande d'appliquer scrupuleusement $(u'v-uv')/v^2$ pour éviter les erreurs de signes au numérateur.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Arbres

Cet exercice porte sur les Probabilités conditionnelles dans le contexte des séjours de vacances. La construction de l'arbre est l'étape clé. Les élèves doivent traduire les pourcentages en probabilités décimales (40% devient 0,4). Le calcul de la probabilité de l'étranger (formule des probabilités totales) nécessite de sommer les deux chemins menant à $\overline{F}$.

Un point technique apparaît à la question 5 : l'indépendance de deux tirages (loi binomiale simplifiée). La probabilité qu'au moins un participe à un séjour en France se calcule plus facilement via l'événement contraire : $1 - P(\text{aucun en France}) = 1 - P(\overline{F})^2$. C'est une méthode classique qui fait gagner un temps précieux et limite les erreurs de calcul.

Exercice 3 : Suites Numériques et Python

L'exercice 3 modélise l'évolution de la population d'une commune. C'est une application directe des Suites géométriques. Une baisse de 2% se traduit par un coefficient multiplicateur de $0,98$. L'expression fonctionnelle $u_n = 800 \times 0,98^n$ est attendue. La question sur Python est typique : il s'agit de compléter une fonction itérative. L'élève doit savoir que pour calculer $u_n$ avec une boucle 'for', il faut initialiser la variable 'u' à 800 et multiplier par 0,98 à chaque itération. La borne de la boucle `range(1, n+1)` ou l'ajustement du nombre d'itérations est souvent le point de friction pour les élèves moins à l'aise avec l'Algorithmie.

Exercice 4 : Analyse et Fonction Exponentielle

L'exercice final combine lecture graphique et calcul algébrique sur la fonction Exponentielle. La partie A demande d'interpréter le nombre dérivé comme le coefficient directeur de la tangente. À l'abscisse -2, la tangente horizontale implique $f'(-2) = 0$. Pour $f'(0)$, on utilise les points B(0;2) et C(1;6) pour calculer le taux d'accroissement : $(6-2)/(1-0) = 4$.

La partie B est plus formelle. La dérivation de $f(x) = e^x(2x+2)$ nécessite la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$. On obtient $f'(x) = 2e^x + (2x+2)e^x = e^x(2x+4)$. L'étude du signe de la dérivée repose uniquement sur le facteur $(2x+4)$ car $e^x$ est toujours strictement positif. Cela permet de dresser le tableau de variations : la fonction est décroissante puis croissante, avec un minimum en $x=-2$. L'exercice se conclut par la vérification de l'équation de la tangente $y = f'(0)x + f(0)$, confirmant les lectures graphiques de la Partie A.

Conclusion et Conseils de Révision

Ce sujet 35 est excellent pour s'entraîner sur les automatismes. Pour réussir, il faut maîtriser : la dérivation de produits et quotients, la manipulation des puissances dans les suites, et la lecture graphique des pentes. Ne négligez pas la partie Python, qui rapporte des points faciles si la structure des boucles est comprise. Enfin, en probabilités, gardez toujours le réflexe de l'événement contraire pour les questions commençant par 'au moins un'.