Introduction : Un sujet représentatif de l'esprit du nouveau Bac

Le Sujet 56 de l'année 2020 pour la spécialité Mathématiques de Première constitue un excellent support de révision. Il balaye un large spectre du programme, allant de l'analyse de fonctions à la géométrie analytique, en passant par les probabilités et l'algorithmie Python. Ce sujet se distingue par son équilibre : il demande à la fois une maîtrise rigoureuse des formules de cours et une capacité à interpréter graphiquement ou textuellement des données concrètes (comme le streaming ou le tennis).

Exercice 1 : Maîtrise des fondamentaux (QCM)

L'exercice 1 est un QCM de 5 points qui teste les piliers du premier semestre. La Question 1 porte sur le second degré. Il est crucial de se rappeler que le signe du discriminant (Δ) donne le nombre de racines, mais pas leur signe. C'est l'étude de f(x) > 0 qui permet de conclure sur l'absence de racines si le coefficient 'a' est positif et Δ < 0.

La Question 2 sur la trigonométrie demande une bonne connaissance du cercle trigonométrique. Le piège classique réside dans l'intervalle d'étude : une équation peut avoir deux solutions sur [0 ; 2π] mais une seule sur [0 ; π]. La Question 3 et la Question 4 concernent la dérivation. L'analyse graphique (lecture du coefficient directeur de la tangente) est un savoir-faire indispensable. Rappel : f'(a) est la pente de la tangente au point d'abscisse 'a'. Pour la fonction g(x), le calcul de la dérivée g'(x) = 3x² - 0,0012 permet d'identifier l'intervalle de décroissance là où g'(x) est négative.

Enfin, la Question 5 valide les propriétés de l'exponentielle. Il faut impérativement retenir que exp(x) est définie sur ℝ, strictement positive, et que (exp(x))² = exp(2x).

Exercice 2 : Probabilités conditionnelles et Arbres

Cet exercice met en scène Roger au tennis pour illustrer les probabilités conditionnelles. La construction de l'arbre pondéré est l'étape clé.

• Notions clés : Probabilités totales, intersection d'événements, et probabilité inversée (formule de Bayes).
• Pièges à éviter : Confondre p(D ∩ S) et p_D(S). La première est la probabilité que les deux se produisent, la seconde est la probabilité de réussite sachant qu'on est en coup droit.
• Conseil méthodologique : Toujours vérifier que la somme des probabilités partant d'un même nœud est égale à 1. Pour la question 5, l'utilisation de la formule p_S(non D) = p(S ∩ non D) / p(S) est systématique dans ce type de sujet.

Exercice 3 : Géométrie repérée et Produit scalaire

L'exercice 3 utilise le produit scalaire et la géométrie analytique dans un repère orthonormé. Le calcul de OA.OB est trivial car les vecteurs sont orthogonaux (résultat nul). En revanche, OA.OE demande d'utiliser les coordonnées du milieu E (4 ; 3).
L'aspect le plus technique concerne les équations cartésiennes de droites. Pour justifier l'équation de la médiane, on vérifie qu'elle passe par le sommet B(0 ; 6) et le milieu du côté opposé [OA], soit M(4 ; 0). Le centre de gravité G est ensuite trouvé par l'intersection de deux médianes ou par la formule G = (xA+xB+xO / 3 ; yA+yB+yO / 3).

Exercice 4 : Suites numériques et Algorithmie Python

Le dernier exercice porte sur l'évolution du marché du streaming, modélisé par des suites.

1. Taux d'évolution : Le calcul (VF - VI) / VI est la base. Pour le taux moyen, on utilise la racine n-ième du coefficient multiplicateur global.
2. Modélisation : Une augmentation constante en pourcentage (15%) traduit une suite géométrique de raison q = 1,15.
3. Python : La complétion de l'algorithme de seuil est classique. La condition du 'while' doit être 'A < 40' pour que la boucle continue tant que l'objectif n'est pas atteint. L'actualisation de la valeur est 'A = A * 1.15'.

Conclusion et conseils de révision

Pour réussir ce sujet 56, l'élève doit maîtriser l'interaction entre les calculs algébriques et l'interprétation concrète. La dérivation et les suites géométriques représentent souvent les points les plus simples à gagner si les formules sont connues par cœur. En géométrie, ne négligez pas la rédaction pour justifier les équations de droites. Entraînez-vous à refaire la partie Python sans aide, car la structure 'Seuil' est récurrente au Bac.