Analyse du Sujet 10 - Spécialité Mathématiques (Première)

Ce sujet de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première offre un tour d'horizon complet du programme. Avec un équilibre entre analyse, probabilités, géométrie et algorithmique, il constitue un excellent entraînement pour les élèves souhaitant consolider leurs bases avant les épreuves de contrôle continu ou les examens de terminale. La difficulté est jugée modérée, mais elle exige une rigueur méthodologique constante.

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

L'exercice 1 est un QCM de 5 points qui balaye des notions variées. C'est un format classique qui ne laisse aucune place à l'improvisation.

• Probabilités : La question 1 porte sur les opérations de base. Le piège classique est de confondre l'intersection avec l'union. Il faut se rappeler que $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$.
• Second degré : La question 2 demande l'abscisse du minimum d'une parabole. La formule du sommet $x_S = -b/(2a)$ est ici l'outil le plus rapide, bien que la dérivation fonctionne aussi.
• Suites arithmétiques : En question 3, l'utilisation de la formule $u_n = u_p + (n-p)r$ permet de trouver la raison $r$ sans erreur.
• Algorithmie : La question 4 teste la compréhension d'une boucle « Pour ». Il faut simuler les étapes pas à pas pour ne pas se tromper dans les itérations.
• Produit scalaire : Enfin, la question 5 utilise un rectangle. Le plus simple est de projeter les vecteurs sur les axes ou d'utiliser une base orthonormée en plaçant le point D à l'origine (0,0).

Exercice 2 : Optimisation et Dérivation

L'exercice 2 se concentre sur l'étude d'une fonction volume, un grand classique des problèmes d'optimisation. La première étape consiste à justifier l'expression du volume $V(x)$. Rappelez-vous que $V = L \times l \times h$. Ici, après avoir retiré les carrés de côté $x$, la longueur devient $(24-2x)$ et la largeur $(18-2x)$.

La dérivation est l'outil central ici. En calculant $V'(x)$, on obtient un trinôme du second degré. Le calcul du discriminant $\Delta$ permet de trouver les racines. Attention, seule la racine comprise dans l'intervalle $[0 ; 9]$ est pertinente physiquement. Le tableau de variations doit impérativement faire apparaître les signes de la dérivée pour justifier le maximum. Enfin, pour la question 5, l'utilisation du maximum calculé précédemment permet de répondre à la faisabilité de la boîte de 650 cm³.

Exercice 3 : Probabilités Conditionnelles

Cet exercice traite des tests médicaux (angine bactérienne vs virale). La construction de l'arbre pondéré est l'étape cruciale. Si l'arbre est faux, tout l'exercice l'est.

Pièges à éviter : Ne pas confondre $P_B(T)$ (probabilité que le test soit positif sachant que l'angine est bactérienne) et $P(B \cap T)$ (probabilité que l'angine soit bactérienne ET que le test soit positif). La formule des probabilités totales est indispensable pour la question 3. La question 4 demande de calculer une probabilité « inverse » ou a posteriori ($P_T(B)$), ce qui nécessite d'utiliser la définition de la probabilité conditionnelle : $P(B \cap T) / P(T)$.

Exercice 4 : Suites Géométriques et Algorithmique Python

Le dernier exercice porte sur la croissance du nombre de visionnages d'une série. Une augmentation de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1,02$. La suite est donc géométrique.

L'étude du seuil (déterminer quand on dépasse 150 000 ou 400 000 visionnages) peut se faire à la calculatrice ou par le script Python fourni. L'analyse du script est essentielle : la boucle `while` s'arrête dès que la condition `u < 400000` n'est plus vérifiée. Enfin, la somme des termes $S_n$ utilise la formule du cours : $S = Premier Terme \times (1 - q^{nb termes}) / (1 - q)$. Une erreur fréquente est d'oublier que de $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes.

Conclusion

Ce sujet 10 de 2020 est très équilibré. Pour réussir, l'élève doit maîtriser les formules de dérivation, les propriétés des suites géométriques et la lecture d'un arbre de probabilités. La capacité à traduire un problème concret (boîte en métal, visionnages de vidéos) en modèle mathématique est la compétence clé testée ici.