Introduction au Sujet 20 de Première Spécialité Mathématiques (2020)

Le sujet 20 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première constitue un excellent support d'entraînement pour les épreuves communes de contrôle continu (E3C). Ce sujet balaie une grande partie du programme officiel, allant de la géométrie vectorielle à l'étude de fonctions, sans oublier les suites numériques et les probabilités conditionnelles. Globalement, ce sujet présente une difficulté équilibrée, idéale pour tester la maîtrise des fondamentaux.

Exercice 1 : QCM Multi-notions

L'exercice 1 est un QCM de 5 points qui exige une grande polyvalence. Il traite de quatre thématiques majeures :

• Produit Scalaire : La question 1 demande d'appliquer la formule du produit scalaire avec le cosinus de l'angle (AB × AC × cos(π/3)). Un classique à maîtriser absolument.
• Dérivation et Taux d'Accroissement : La question 2 teste la définition du nombre dérivé comme limite du taux d'accroissement. Il suffit ici d'identifier la limite lorsque h tend vers 0.
• Fonction Exponentielle : La question 3 porte sur la dérivation d'un produit (u × v) impliquant l'exponentielle. Rappel : la dérivée de e^x est elle-même.
• Tangente et Interprétation Graphique : Les questions 4 et 5 portent sur l'équation de la tangente y = f'(a)(x-a) + f(a) et la lecture du coefficient directeur (pente) entre deux points A et B.

Conseil méthodologique : Dans un QCM, gagnez du temps en éliminant les réponses manifestement fausses, mais gardez toujours un brouillon pour sécuriser vos calculs de dérivées.

Exercice 2 : Étude d'un Coût Moyen (Analyse)

Cet exercice de 5 points se concentre sur l'application de la dérivation à un problème économique (optimisation des coûts). L'élève doit étudier une fonction de coût moyen C_M(q).

La difficulté principale réside dans la question 2.a, où il faut dériver une somme comprenant un terme en 1/q. La mise au même dénominateur de l'expression C'_M(q) est une étape cruciale pour aboutir à la forme factorisée proposée par l'énoncé. La factorisation permet ensuite d'étudier le signe du numérateur : le trinôme (q² + q + 10) ayant un discriminant négatif (Δ < 0), il est toujours positif. Seul le facteur (q - 10) détermine le signe de la dérivée, simplifiant ainsi l'étude des variations.

Piège à éviter : Ne pas oublier que q est compris entre 1 et 20. Lors de la rédaction du tableau de signes, veillez à bien justifier le signe de chaque facteur.

Exercice 3 : Suites Numériques et Algorithmique Python

Ici, on modélise la réduction de déchets par une suite géométrique de raison q = 0,98 (diminution de 2%).

• Nature de la suite : L'élève doit savoir identifier qu'une évolution à taux constant correspond à une suite géométrique.
• Somme de termes : Le sujet fournit la formule de la somme, mais il faut faire attention à l'indice : pour l'année 2020 complète, on calcule la somme de a_1 (janvier) à a_12 (décembre).
• Python : L'algorithme présenté est un grand classique. La variable S accumule les valeurs de U à chaque itération. L'appel S(6) calcule la somme des déchets produits durant les 6 premiers mois de l'année 2020 (de janvier à juin).

Conseil : En Python, faites attention à l'initialisation de U. Ici U=120 au départ, mais la première valeur ajoutée à S dans la boucle est 120 × 0,98 (soit a_1).

Exercice 4 : Probabilités Conditionnelles et Arbres

Le dernier exercice porte sur les probabilités conditionnelles à travers une situation de jeu de fléchettes.

Le candidat doit construire un arbre pondéré complet. La difficulté réside dans l'utilisation de la loi des probabilités totales pour calculer P(G). Enfin, la dernière question demande de calculer une probabilité "inverse" (sachant G, quelle est la probabilité de C), ce qui nécessite l'application de la formule de Bayes : P_G(C) = P(C ∩ G) / P(G).

Conclusion

Le sujet 20 de 2020 est un modèle de complétude pour le niveau Première. Il sollicite des compétences de calcul, de modélisation et d'analyse de code Python. Pour réussir, il est essentiel de maîtriser les formules de dérivation usuelles et de savoir interpréter un énoncé de probabilités sous forme d'arbre.