Introduction : Un panorama complet du programme de Première Spécialité

Le sujet 61 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première offre un excellent tour d'horizon des compétences attendues. Alliant géométrie analytique, analyse de suites, probabilités conditionnelles et étude de fonctions avec exponentielles, il se distingue par son équilibre entre théorie et application concrète (modélisation économique et physique). La difficulté globale est jugée moyenne, mais nécessite une grande rigueur dans le maniement des unités et des formules de dérivation.

Exercice 1 : QCM de Géométrie et Trigonométrie

Cet exercice de type QCM balaye plusieurs chapitres fondamentaux :

• Dérivation : La question 1 demande d'identifier un nombre dérivé graphiquement. Le piège classique est de confondre l'ordonnée du point de contact avec la pente de la tangente. Rappelez-vous : $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$. Ici, pour $d'$, la pente est de $-1$.
• Trigonométrie : La résolution de $\sin x = 1/2$ sur un intervalle restreint impose une bonne connaissance du cercle trigonométrique. Il faut être vigilant sur l'intervalle donné $[-\pi/2, \pi/2]$.
• Produit scalaire et Géométrie repérée : Les questions 3 à 5 testent la maîtrise des vecteurs et des équations de cercles. Pour le produit scalaire $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$, on utilise la formule analytique $xx' + yy'$. Pour la droite perpendiculaire, on utilise le fait que le vecteur normal de l'une est le vecteur directeur de l'autre (ou la condition $aa' + bb' = 0$).

Conseil méthodologique : En QCM, ne cherchez pas toujours à résoudre complètement. Parfois, tester les coordonnées des points donnés dans les équations proposées permet d'éliminer rapidement les mauvaises réponses.

Exercice 2 : Suites et Modélisation du rebond

On étudie ici la hauteur d'une balle de caoutchouc. C'est un exercice classique de modélisation par une suite géométrique.

• Notions clés : Le coefficient de réduction $4/5$ (soit $0,8$) définit la raison $q$. Le premier terme est $h_0 = 2$.
• Sens de variation : Puisque $0 < q < 1$ et $h_0 > 0$, la suite est strictement décroissante.
• Seuil : La question sur le nombre minimal de rebonds pour passer sous les 20 cm ($0,2$ m) peut se résoudre soit par tâtonnement à la calculatrice, soit en utilisant les logarithmes (bien que non officiellement au programme de début de première, ils facilitent la résolution de $2 \times 0,8^n < 0,2$).

Piège à éviter : Attention aux unités ! On passe de mètres à centimètres. Il faut comparer $h_n$ à $0,2$ et non à $20$.

Exercice 3 : Probabilités conditionnelles en restauration

Cet exercice traite de la consommation de desserts et de cafés. La structure en arbre pondéré est imposée.

• Notions clés : Probabilités totales, probabilités conditionnelles et inversion de conditionnement (formule de Bayes).
• Arbre pondéré : Il possède trois branches principales ($M$, $T$, $P$). La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à $1$.
• Calcul de $P(C)$ : Il faut appliquer la formule des probabilités totales en sommant les chemins menant à $C$ : $P(C) = P(M \cap C) + P(T \cap C) + P(P \cap C)$.

Conseil méthodologique : Toujours vérifier la cohérence des résultats. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Pour la question 4 ($P_C(M)$), on utilise la définition $P(M \cap C) / P(C)$.

Exercice 4 : Optimisation du bénéfice (Fonction Exponentielle)

La partie analyse porte sur une fonction de type $(ax+b)e^{cx}$.

• Modélisation : Le bénéfice est la recette moins les coûts. L'énoncé guide vers l'expression $B(x) = (100x - 40) e^{-2x}$.
• Dérivation : La dérivée est fournie, ce qui sécurise l'élève. Il faut toutefois savoir l'étudier. Le signe de $B'(x)$ dépend uniquement du facteur linéaire $(180 - 200x)$ car l'exponentielle est toujours strictement positive.
• Optimisation : Le bénéfice maximal est atteint quand la dérivée s'annule et change de signe, soit pour $x = 180/200 = 0,9$ (900 euros).

Piège à éviter : La confusion entre les unités. $x$ est en milliers d'euros, $N(x)$ en millions d'unités, et $R(x)$ en milliards d'euros. Une erreur de conversion peut fausser l'interprétation finale.

Conclusion

Ce sujet 61 est un excellent test de fin d'année. Il demande une agilité intellectuelle pour passer d'un contexte concret à un outil mathématique abstrait. Pour réussir, l'élève doit maîtriser l'étude de signe d'une dérivée et la lecture rigoureuse d'un énoncé pour en extraire les paramètres de modélisation.