Analyse du Sujet 44 - Première Spécialité Mathématiques (2020)

Le sujet 44 des épreuves de contrôle continu (E3C) de 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de première est un excellent test de synthèse. Il balaye une large partie du programme, allant de l'analyse de fonctions à la géométrie analytique, en passant par les probabilités et les suites numériques. Ce sujet est particulièrement équilibré entre la technique pure et l'interprétation concrète.

Exercice 1 : QCM Multi-notions

L'exercice 1 se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) de 5 points, couvrant cinq domaines distincts. C'est un exercice classique pour tester l'agilité mentale des élèves.

• Question 1 (Trigonométrie) : Elle demande de connaître les valeurs remarquables du cercle trigonométrique. Identifier que cos(x) = -√3/2 renvoie à l'angle 5π/6 est un basique du cours.
• Question 2 & 3 (Géométrie repérée) : Ces questions traitent des vecteurs directeurs. Le piège classique est d'inverser les coordonnées (x; y) ou de confondre le vecteur directeur d'une droite d'équation y = ax + b, qui est toujours u(1 ; a).
• Question 4 (Second degré) : L'analyse graphique d'une parabole pour trouver sa forme canonique y = a(x - α)² + β. Ici, la lecture du sommet S(2 ; 1) permet d'identifier immédiatement la réponse correcte.
• Question 5 (Équation de cercle) : La reconnaissance de la forme (x - a)² + (y - b)² = R². Attention à ne pas confondre le rayon R avec son carré R².

Exercice 2 : Analyse de Fonction et Dérivation

Cet exercice porte sur une fonction polynôme de degré 3. Il se divise en deux parties : une approche algébrique et une approche par le calcul différentiel.

Partie A : La vérification de la factorisation p(x) = (5 - x)(x² + 2x + 1) est cruciale. Elle permet d'étudier le signe de la fonction sans passer par des calculs complexes de racines du troisième degré. On notera que (x² + 2x + 1) est une identité remarquable (x + 1)², ce qui simplifie grandement l'étude de signe.

Partie B : On entre dans le cœur du programme de première avec la dérivation. Le calcul de p'(x) = -3x² + 6x + 9 permet de trouver les variations de la fonction. Le calcul du discriminant (Δ) pour le polynôme dérivé est l'étape incontournable pour dresser le tableau de variations et identifier le maximum sur l'intervalle [0 ; 5].

Exercice 3 : Probabilités Conditionnelles

L'exercice 3 traite des probabilités dans un contexte de santé et de sport. La construction de l'arbre pondéré est la première étape pour ne pas s'égarer.

Les élèves doivent maîtriser la formule des probabilités totales pour calculer P(S). La question 3 sur la probabilité de tomber malade sachant que l'on ne pratique pas de sport (probabilité conditionnelle inverse) demande d'utiliser la formule : P_nonS(M) = P(M ∩ nonS) / P(nonS).

La dernière question est une question d'ouverture et d'esprit critique, demandant de comparer des probabilités conditionnelles pour valider ou infirmer l'annonce d'un journaliste. C'est une compétence de plus en plus valorisée au baccalauréat.

Exercice 4 : Suites Numériques et Algorithmique Python

Le dernier exercice porte sur une situation concrète de transport de marchandises. On identifie rapidement une suite géométrique de raison q = 1,11 (augmentation de 11 %).

• Modélisation : L'expression du terme général u_n = u_0 * q^n est fondamentale.
• Algorithme Python : Le candidat doit compléter une boucle while. La condition de sortie est liée au seuil de 1000 tonnes. C'est un grand classique des épreuves de première.
• Somme des termes : La dernière question nécessite de calculer le chiffre d'affaires total, ce qui implique la somme des termes d'une suite géométrique. La formule S = u_0 * (1 - q^n) / (1 - q) doit être appliquée avec vigilance, notamment sur le nombre de termes (de 2012 à 2019, il y a 8 années).

Conclusion et conseils de révision

Ce sujet 44 est très complet. Pour le réussir, un élève doit impérativement maîtriser :

1. Le maniement des fonctions de degré 2 et 3.
2. Le calcul et l'interprétation de la dérivée.
3. La lecture et la complétion d'un arbre de probabilités.
4. Les suites géométriques et leur implémentation en Python.

Le temps est souvent le facteur limitant sur ce type de sujet. S'entraîner sur les QCM permet de gagner des points précieux rapidement pour consacrer plus de temps aux justifications des exercices 2 et 4.