Compilation d'exercices corrigés : Exponentielle et Probabilités en Première Spécialité

Cette compilation d'exercices corrigés regroupe quatre sujets incontournables issus des annales de Première Spécialité mathématiques (session 2020). Conçue pour optimiser vos révisions, elle cible deux piliers fondamentaux du programme : l'étude de la fonction exponentielle (associée à la dérivation) et les probabilités conditionnelles. Que ce soit pour préparer un contrôle continu (type E3C) ou consolider vos acquis pour l'année de Terminale, ces problèmes offrent un entraînement complet et progressif.

Compétences mathématiques et chapitres abordés

En travaillant sur cette sélection d'annales, les élèves de lycée pourront évaluer leur maîtrise des notions suivantes :

• Fonction exponentielle et dérivation : Calcul de fonctions dérivées (notamment de la forme $u \times v$), étude du signe de l'exponentielle, détermination des variations d'une fonction, et calcul de l'équation d'une tangente à la courbe. Interprétation graphique (nombre dérivé, tangentes horizontales).
• Probabilités conditionnelles : Modélisation de situations concrètes par un arbre pondéré, calculs d'intersections, application de la formule des probabilités totales, et vérification de l'indépendance entre deux événements. Inversion de conditionnement.

Détail des sujets de la compilation

• Sujet 1 : Dérivation et Exponentielle (Ex 3 - 2020) - Un exercice d'analyse complet demandant d'étudier la fonction composée $f(x) = (2-x)e^x$. L'élève devra interpréter graphiquement des tangentes (détermination du nombre dérivé $f'(1)$), appliquer la formule de dérivation d'un produit, et dresser le tableau de variations.
• Sujet 2 : Exponentielle et Dérivation (Ex 4 - 2020) - Une application concrète modélisant un contrôle anti-dopage. À partir d'une dérivée donnée $f'(x) = (-1,2x + 3)e^{-0,4x}$, il s'agit d'étudier le signe, de déduire les variations pour trouver le pic de concentration (maximum de la fonction), et d'interpréter les résultats dans le contexte de l'énoncé.
• Sujet 3 : Probabilités conditionnelles (Ex 2 - 2020) - Un problème de gestion de stocks et de contrôle qualité dans un salon de thé. Ce sujet classique permet de s'entraîner sur la construction de l'arbre de probabilités, la loi des probabilités totales pour trouver $P(\overline{T})$, et le calcul d'une probabilité conditionnelle inversée.
• Sujet 4 : Probabilités conditionnelles (Ex 4 - 2020) - Basé sur la répartition d'élèves du lycée dans diverses activités (musique, sport, cinéma). L'exercice évalue la capacité à construire un arbre pondéré, à utiliser les probabilités totales, et surtout à démontrer mathématiquement si deux événements sont indépendants ou non.

Un support idéal pour la préparation au Bac

S'exercer sur de vrais sujets d'examen est la meilleure méthode pour réussir. Chaque exercice de cette compilation est accompagné d'une correction détaillée qui met en lumière les points de vigilance, tels que le signe strictement positif de la fonction exponentielle ($e^x > 0$) ou la règle fondamentale stipulant que la somme des probabilités des branches d'un nœud vaut toujours 1. Profitez de ces exercices de maths corrigés pour parfaire vos méthodes de résolution et gagner en efficacité lors de vos prochaines évaluations.