Analyse de l'énoncé : Un QCM de Synthèse pour le Brevet

Cet exercice, issu du Brevet 2022 d'Amérique du Nord, est un questionnaire à choix multiple (QCM) qui teste la capacité de l'élève à naviguer rapidement entre cinq domaines fondamentaux du programme de 3ème : les probabilités, les ratios, les fonctions linéaires, l'arithmétique (décomposition en facteurs premiers) et le calcul des volumes. L'absence de justification demandée souligne l'importance de la rapidité et de la justesse dans les calculs.

Points clés et méthodes de résolution

Voici le détail des solutions pour s'assurer d'avoir coché les bonnes réponses :

Question 1 : Calcul de Probabilité

• Le dé possède 20 faces, donc 20 issues possibles (dénominateur : 20).
• Les numéros inférieurs ou égaux à 5 sont 1, 2, 3, 4, 5 (5 issues favorables).
• La probabilité est donc $\frac{5}{20}$. En simplifiant cette fraction, on obtient $\frac{1}{4}$.
• Réponse exacte : B

Question 2 : Application du Ratio

• Le ratio sirop:eau est de 1:7. Le volume total de boisson représente $1 + 7 = 8$ parts.
• Le volume total est de 560 mL. La valeur d'une part est $560 \div 8 = 70$ mL.
• L'eau représente 7 parts. La quantité d'eau nécessaire est $7 \times 70 = 490$ mL.
• Réponse exacte : D

Question 3 : Fonctions Linéaires

• Une fonction linéaire est de la forme $f(x) = ax$.
• Nous savons que $f\left(\frac45\right) = 1$. Il faut résoudre l'équation : $a \times \frac45 = 1$.
• Le coefficient directeur $a$ est l'inverse de $\frac45$, soit $a = \frac54$.
• La fonction est donc $f(x) = \frac54 x$.
• Réponse exacte : C

Question 4 : Décomposition en Facteurs Premiers

• Il faut décomposer 195 uniquement en utilisant des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13...).
• 195 est divisible par 5 : $195 = 5 \times 39$.
• 39 est divisible par 3 : $39 = 3 \times 13$.
• Les facteurs premiers sont 3, 5 et 13. Donc $195 = 3 \times 5 \times 13$.
• Réponse exacte : B (Attention, les réponses A et D ne sont pas des décompositions complètes car 39 et 65 ne sont pas premiers).

Question 5 : Volume du Prisme Droit

• Le volume d'un prisme droit est $V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$.
• La base est un triangle rectangle (indiqué par le petit carré) de côtés 5 cm et 3 cm.
• Aire de la base $ = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \frac{5 \times 3}{2} = 7,5$ cm$^2$.
• La hauteur du prisme est 8 cm (la distance entre les deux bases triangulaires).
• $V = 7,5 \times 8 = 60$ cm$^3$.
• Réponse exacte : B