Analyse de l'énoncé

Cet exercice, typique du Brevet, explore plusieurs notions fondamentales de la géométrie plane et de la proportionnalité à travers la modélisation d'un champ agricole. Le champ est représenté par un triangle ABC rectangle en B, avec des dimensions données (AB = 200 m, BC = 150 m). La complexité réside dans l'interprétation des passages de la moissonneuse, qui créent des segments parallèles au côté [AB].

Maîtrise du Théorème de Thalès

Les questions 1 et 2 nécessitent une approche méthodologique rigoureuse. La première étape (1.a) consiste à calculer la longueur BG. Sachant que la moissonneuse effectue 5 passages de 12 mètres chacun, il suffit de multiplier : $BG = 5 imes 12 = 60$ m. La longueur CG se déduit par simple soustraction : $CG = BC - BG = 150 - 60 = 90$ m.

Pour la question 2 (calcul de GF), l'information cruciale est que le segment [GF] est la limite après cinq passages et qu'il est donc parallèle à [AB]. Nous sommes dans une configuration de Thalès dans le triangle ABC. Les points C, G, B et C, F, A sont alignés. Nous appliquons les rapports : $CG / CB = CF / CA = GF / AB$. En utilisant les valeurs connues : $90 / 150 = GF / 200$. Ceci permet de déterminer $GF = (90 imes 200) / 150 = 120$ m.

Aires et Proportionnalité

La partie 3 s'attaque aux aires et au temps de travail. Puisque (GF) est parallèle à (AB) et que (AB) est perpendiculaire à (BC), (GF) est également perpendiculaire à (BC). Le triangle CGF est donc rectangle en G. L'aire est $(base imes hauteur) / 2$, soit $Aire(CGF) = (CG imes GF) / 2 = (90 imes 120) / 2 = 5400$ m$^2$.

La proportionnalité est ensuite utilisée pour le temps de moisson. Si 9600 m$^2$ (surface ABGF) sont moissonnés en 80 minutes, on peut calculer le temps nécessaire pour les 5400 m$^2$ restants : $Temps_{CGF} = (5400 imes 80) / 9600 = 45$ minutes. Il est essentiel de bien poser la relation de proportionnalité dans ce type d'exercice.

Théorème de Pythagore et Périmètre

Enfin, la dernière question fait appel au Théorème de Pythagore pour calculer la longueur de clôture nécessaire. Pour trouver la longueur du côté [AC] (l'hypoténuse), on utilise : $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 200^2 + 150^2 = 40000 + 22500 = 62500$. Donc $AC = \sqrt{62500} = 250$ m. La longueur totale de clôture (le périmètre) est alors $200 + 150 + 250 = 600$ mètres.