Introduction aux notions clés du Brevet 2015

L'exercice 4 du sujet de Mathématiques du Brevet des Collèges (Série Générale - Métropole 2015) est un exercice polyvalent. Il se compose de cinq questions indépendantes qui balayent une large partie du programme de troisième. Pour réussir ce type d'épreuve, il est essentiel de maîtriser des domaines variés tels que les fonctions numériques, les probabilités, les puissances, l'arithmétique et la résolution d'équations. Cet exercice est idéal pour réviser car il demande une grande agilité mentale et la capacité de passer d'un concept mathématique à un autre rapidement.

Analyse Méthodique Question par Question

1. Calcul d'image par une fonction linéaire

La première question porte sur la fonction $f$ définie par $f(x) = - 6x + 7$. On nous demande de déterminer l'image de 3 par cette fonction. En mathématiques, calculer l'image d'un nombre signifie remplacer la variable $x$ par ce nombre dans l'expression de la fonction. Ici, il faut donc calculer $f(3)$.

Le raisonnement : On effectue la substitution : $f(3) = -6 \times 3 + 7$. Il est crucial de respecter les priorités opératoires : on commence par la multiplication avant l'addition. Ainsi, $-6 \times 3 = -18$. Ensuite, on ajoute 7 : $-18 + 7 = -11$. L'image de 3 par la fonction $f$ est donc $-11$.

2. Probabilités : Le choix des vêtements

La deuxième question introduit un problème de probabilités simples sur une expérience à deux épreuves : le choix d'une chemisette puis le choix d'un short. Arthur a 3 choix de chemisettes (V, B, R) et 2 choix de shorts (V, B).

Analyse du dénombrement : Pour trouver la probabilité qu'il soit habillé uniquement en vert, il faut déterminer le nombre total d'issues possibles et le nombre d'issues favorables. Le nombre total de combinaisons est de $3 \times 2 = 6$. Les issues sont : (Verte, Vert), (Verte, Bleu), (Bleue, Vert), (Bleue, Bleu), (Rouge, Vert), (Rouge, Bleu). L'unique issue favorable est (Verte, Vert). La probabilité est donc de $1/6$.

3. Les puissances : Comprendre le doublement

Ariane affirme que $2^{40}$ est le double de $2^{39}$. Cette question teste votre compréhension des propriétés des puissances de 10 ou de n'importe quel nombre relatif. Par définition, le double d'un nombre $A$ est $2 \times A$.

Démonstration mathématique : Calculons le double de $2^{39}$. Cela revient à faire $2^1 \times 2^{39}$. Selon la règle de multiplication des puissances d'un même nombre ($a^n \times a^m = a^{n+m}$), on obtient $2^{1+39} = 2^{40}$. Ariane a donc parfaitement raison. C'est un piège classique où beaucoup d'élèves pensent à tort que le double de $2^{39}$ est $2^{78}$ ou $4^{39}$.

4. Arithmétique : PGCD d'un nombre pair et impair

Loïc affirme que le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) d'un nombre pair et d'un nombre impair est toujours égal à 1. En arithmétique, pour infirmer une affirmation universelle, il suffit de trouver un contre-exemple.

Recherche du contre-exemple : Prenons un nombre pair, par exemple 6, et un nombre impair, par exemple 9. Cherchons les diviseurs de 6 : {1, 2, 3, 6}. Cherchons les diviseurs de 9 : {1, 3, 9}. Le plus grand diviseur commun est 3. Puisque $PGCD(6, 9) = 3$ (et non 1), l'affirmation de Loïc est fausse. Attention : si deux nombres ont un PGCD égal à 1, on dit qu'ils sont premiers entre eux, mais cela n'est pas automatique dès qu'un nombre est impair.

5. Résolution d'une équation linéaire

La dernière question est une résolution d'équation classique : $5x - 2 = 3x + 7$. L'objectif est d'isoler l'inconnue $x$ d'un côté de l'égalité.

Étapes de résolution :
1. Regrouper les termes en $x$ à gauche : on soustrait $3x$ de chaque côté, ce qui donne $5x - 3x - 2 = 7$, soit $2x - 2 = 7$.
2. Isoler le terme en $x$ : on ajoute 2 de chaque côté, ce qui donne $2x = 7 + 2$, soit $2x = 9$.
3. Conclure : on divise par 2, donc $x = 9/2$ ou $x = 4,5$. La solution de l'équation est 4,5.

Les Pièges à éviter le jour de l'examen

Dans cet exercice du Brevet 2015, les erreurs les plus fréquentes concernent les signes dans le calcul de l'image (confusion entre $-18+7$ et $-18-7$) et la mauvaise interprétation des puissances. Concernant les probabilités, n'oubliez jamais de justifier en listant les issues ou en utilisant un arbre. Pour l'arithmétique, la confusion entre 'nombre impair' et 'nombre premier' est fatale. Enfin, pour l'équation, vérifiez toujours votre résultat en remplaçant $x$ par la valeur trouvée dans l'égalité de départ.

Conseils de rédaction pour obtenir tous les points

Pour chaque question, même courte, annoncez ce que vous faites. Utilisez des phrases de transition comme 'D'une part... d'autre part...' ou 'On sait que...'. Par exemple, pour l'affirmation d'Ariane, écrivez : 'Le double de $2^{39}$ est $2 \times 2^{39}$. D'après les propriétés du cours sur les puissances, $2^1 \times 2^{39} = 2^{39+1} = 2^{40}$. Donc Ariane a raison.' Une rédaction claire et structurée rassure le correcteur et garantit la note maximale.