Introduction aux notions de Proportionnalité et de Vitesses

L'exercice 5 du brevet de mathématiques de Polynésie 2015 est un cas d'école particulièrement riche. Il mobilise deux piliers du programme de troisième : la proportionnalité et le calcul de vitesses moyennes. En s'appuyant sur un contexte concret et prestigieux, celui des "24 heures du Mans", cet exercice demande aux élèves de savoir extraire des informations pertinentes à travers plusieurs documents (schémas, textes, données numériques) pour résoudre une problématique physique réelle.

Analyse de la Question 1 : Le calcul du nombre de tours

La première étape consiste à déterminer le nombre de tours complets effectués par l'Audi R15+. Pour cela, le candidat doit identifier deux données cruciales dans les documents : la distance totale parcourue par le véhicule et la longueur exacte d'un tour de circuit. Le Document 3 nous indique que la voiture a parcouru $\np{5405,470}$ km. Le Document 2 précise que la longueur d'un tour est de $13,629$ km.

D'un point de vue méthodologique, il s'agit d'une situation de division. Le nombre de tours $N$ est égal au quotient de la distance totale par la longueur d'un tour : $N = \frac{5405,470}{13,629}$. En effectuant ce calcul, on obtient environ $396,615...$. Cependant, la question demande le nombre de tours complets. Ici, l'élève doit faire preuve de discernement et ne retenir que la partie entière du résultat, soit $396$ tours. C'est un point d'attention majeur : dans un problème de brevet, la lecture de la consigne est aussi importante que le calcul mathématique lui-même.

Analyse de la Question 2 : La vitesse moyenne et la relation $v = d/t$

La deuxième question porte sur le calcul de la vitesse moyenne. La formule fondamentale à connaître par cœur est $v = \frac{d}{t}$. Dans ce contexte, la distance $d$ est la distance totale parcourue par l'Audi R15+, soit $\np{5405,470}$ km. Le temps $t$ est donné par le titre de la course : "24 heures du Mans", donc $t = 24$ heures.

Le calcul se présente ainsi : $v = \frac{5405,470}{24} \approx 225,227...$ km/h. La consigne impose d'arrondir à l'unité. L'élève doit donc observer le premier chiffre après la virgule (le $2$) pour décider si l'on reste à $225$ ou si l'on passe à $226$. Puisque $2 < 5$, l'arrondi à l'unité est $225$ km/h. Cette question évalue la capacité à appliquer une formule physique de base tout en respectant les règles d'arrondi numérique, une compétence transversale essentielle entre les mathématiques et les sciences physiques.

Analyse de la Question 3 : Conversion d'unités anglo-saxonnes et comparaison

Cette dernière partie est souvent la plus délicate pour les élèves car elle nécessite une conversion d'unités entre le système métrique et le système impérial (anglo-saxon). On nous donne la vitesse de deux voitures : la voiture n°37 à $205$ mph (miles per hour) et la voiture n°38 à $310$ km/h. Pour comparer ces deux grandeurs, elles doivent impérativement être exprimées dans la même unité.

Le Document 4 nous donne la clé de conversion : $1$ mile $\approx \np{1609}$ mètres. Pour convertir $205$ mph en km/h, on peut procéder par étapes :
1. On convertit les miles en mètres : $205 \times 1609 = 329,845$ mètres.
2. On convertit les mètres en kilomètres : $329,845 / 1000 = 329,845$ km.
Ainsi, $205$ mph équivaut à environ $329,8$ km/h.

En comparant $329,8$ km/h (voiture n°37) et $310$ km/h (voiture n°38), on conclut que la voiture n°37 est la plus rapide. Cet exercice illustre parfaitement l'usage de la proportionnalité : si $1$ mile correspond à $1,609$ km, alors $205$ miles correspondent à $205 \times 1,609$ km. La maîtrise du produit en croix ou du coefficient de proportionnalité est ici indispensable.

Les pièges classiques à éviter

Lors de la résolution de cet exercice, plusieurs erreurs récurrentes peuvent coûter des points :
1. L'oubli des unités : Une vitesse sans unité (km/h) ou une distance sans km est une erreur sanctionnée par les correcteurs.
2. L'erreur d'arrondi : Ne pas respecter l'arrondi demandé (à l'unité dans la question 2) montre un manque de rigueur.
3. La confusion dans les conversions : Multiplier par $1000$ au lieu de diviser pour passer des mètres aux kilomètres est une erreur fréquente. Il faut toujours vérifier la cohérence du résultat : $329$ km/h est une vitesse cohérente pour une voiture de course, contrairement à $329,000$ km/h !
4. La mauvaise lecture de documents : Oublier que la course dure 24 heures (donnée pourtant présente dans le titre) empêche de résoudre la question 2.

Conseils de rédaction pour le jour du Brevet

Pour obtenir le maximum de points, la rédaction doit être structurée :
- Annoncez votre démarche : "Je commence par calculer la distance en kilomètres..."
- Citez vos sources : "D'après le document 4, on sait que..."
- Détaillez vos calculs : Ne donnez pas seulement le résultat final, écrivez l'opération posée ou la formule utilisée.
- Concluez par une phrase claire : "La voiture n°37 est donc la plus rapide car sa vitesse est supérieure à celle de la voiture n°38."

En résumé, cet exercice de 2015 en Polynésie est une excellente préparation car il mélange lecture de graphiques, extraction de données textuelles et calculs de vitesse. Il prépare l'élève à utiliser les mathématiques comme un outil de compréhension du monde réel, ce qui est l'objectif premier de l'épreuve du brevet des collèges.