Introduction aux notions de Fonctions et de Proportionnalité

Cet exercice issu du Brevet des Collèges 2015 (Zone Étrangers) est un modèle d'application concrète des mathématiques au monde réel. Il traite de la conversion entre deux systèmes de mesure de température : le degré Celsius (°C) et le degré Fahrenheit (°F). Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser trois piliers du programme de 3ème : la proportionnalité, l'étude des fonctions affines et la résolution d'équations du premier degré. L'objectif ici est de comprendre comment une relation entre deux grandeurs peut être modélisée par une expression algébrique de type $f(x) = ax + b$.

Analyse de la Question 1 : Graphique et Proportionnalité

La première question demande de déterminer s'il existe une situation de proportionnalité. En mathématiques, deux grandeurs sont proportionnelles si leur représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère. En observant la Représentation 2, nous voyons bien une droite, ce qui indique une relation linéaire ou affine. Cependant, cette droite ne passe pas par l'origine (le point $(0;0)$). En effet, pour $0$ °C, on lit environ $32$ °F. Puisque l'image de 0 n'est pas 0, on en conclut immédiatement qu'il n'y a pas proportionnalité. C'est une erreur classique de confondre 'alignement' et 'proportionnalité'. N'oubliez pas : une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où l'ordonnée à l'origine est nulle.

Analyse de la Question 2 : Validation du modèle fonctionnel

L'exercice propose trois expressions. Pour justifier que la Proposition 2 ($f(x) = 1,8x + 32$) est la bonne, la méthode la plus rigoureuse consiste à procéder par élimination en testant des points de contrôle issus des représentations graphiques ou du thermomètre :
1. Test de la Proposition 1 ($f(x) = x + 32$) : Si $x = 10$, alors $f(10) = 10 + 32 = 42$. Or, sur le graphique ou le thermomètre, pour $10$ °C, on observe $50$ °F. Cette proposition est donc fausse.
2. Test de la Proposition 3 ($f(x) = 2x + 30$) : Si $x = 0$, alors $f(0) = 30$. Or, on sait que l'image de 0 est 32. Cette proposition est également fausse.
Par élimination, la Proposition 2 est la seule cohérente. En vérifiant $1,8 \times 10 + 32 = 18 + 32 = 50$, on confirme l'exactitude du modèle.

Analyse de la Question 3 : Calculs d'images et nombres relatifs

Ici, on évalue la capacité de l'élève à manipuler des nombres relatifs dans une fonction affine.
- Pour $f(10)$, le calcul est simple : $1,8 \times 10 + 32 = 18 + 32 = 50$.
- Pour $f(-40)$, le calcul demande plus de vigilance : $1,8 \times (-40) + 32 = -72 + 32 = -40$.
Ce résultat est remarquable car il montre un point de rencontre unique entre les deux échelles, ce qui prépare l'élève à la question finale.

Analyse de la Question 4 : Résolution de l'équation d'égalité

La question demande s'il existe une température où $x = f(x)$. Mathématiquement, cela revient à résoudre l'équation : $x = 1,8x + 32$.
Étape 1 : On regroupe les termes en $x$ : $x - 1,8x = 32$.
Étape 2 : On simplifie : $-0,8x = 32$.
Étape 3 : On isole $x$ : $x = 32 / (-0,8)$.
Étape 4 : On calcule : $x = -40$.
La conclusion est sans appel : il existe une valeur unique, $-40$ degrés, où les deux échelles indiquent la même valeur. C'est un point d'intersection graphique entre la droite d'équation $y = 1,8x + 32$ et la première bissectrice $y = x$.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

Les pièges : Le plus grand risque est d'oublier de justifier par le graphique à la question 1 ou de se tromper dans les signes lors du calcul de $f(-40)$. Attention aussi à l'unité de mesure : ne confondez pas les axes $x$ (Celsius) et $y$ (Fahrenheit).
Conseil de rédaction : Pour obtenir le maximum de points, citez toujours la propriété utilisée. Par exemple : 'La représentation graphique est une droite qui ne passe pas par l'origine, donc ce n'est pas une situation de proportionnalité'. Pour les équations, détaillez chaque étape de passage d'une ligne à l'autre.