Introduction aux notions clés : Pythagore et Prise d'Initiative

L'exercice 4 du sujet de Brevet Nouvelle-Calédonie 2015 est un cas d'école pour tester les compétences de géométrie plane et la capacité d'un élève de 3ème à mobiliser ses connaissances face à un problème ouvert. Les tags imposés sont clairs : Prise d'initiatives et Théorème de Pythagore. Dans ce type d'énoncé, l'élève n'est pas guidé par des questions intermédiaires. Il doit construire son propre raisonnement pour répondre à une question unique : la faisabilité d'une découpe technique. L'enjeu ici est de comprendre comment agencer deux triangles rectangles isocèles dans un carré de dimensions données.

Analyse Méthodique de l'exercice

Pour résoudre ce problème, nous devons d'abord modéliser mathématiquement les triangles demandés par le décorateur. Un triangle rectangle et isocèle possède deux côtés de même longueur (les côtés de l'angle droit, que nous appellerons \(a\)) et une hypoténuse (le côté le plus long). L'énoncé nous donne la longueur de l'hypoténuse : \(15\text{ cm}\).

Étape 1 : Calcul de la longueur des côtés de l'angle droit.
D'après le théorème de Pythagore appliqué dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse. Si nous appelons \(a\) la longueur de ces côtés, nous avons l'équation suivante :
\(a^2 + a^2 = 15^2\)
\(2a^2 = 225\)
\(a^2 = 225 / 2 = 112,5\)
\(a = \sqrt{112,5} \approx 10,6\text{ cm}\).

Étape 2 : Comparaison avec le support (le carreau de carrelage).
Le carreau est un carré de \(12\text{ cm}\) de côté. Nous venons de trouver qu'un seul triangle possède deux côtés de \(10,6\text{ cm}\). À ce stade, on voit qu'un triangle tient largement dans le carreau puisque \(10,6 < 12\). Mais la question demande si l'on peut en faire deux.

Étape 3 : Raisonnement géométrique sur l'assemblage.
C'est ici qu'intervient la prise d'initiative. Comment disposer deux triangles rectangles isocèles ? L'assemblage le plus efficace consiste à les accoler par leur hypotenuse commune. Lorsqu'on réunit deux triangles rectangles isocèles identiques par leur hypoténuse, on obtient un carré. Le côté de ce nouveau carré formé par les deux triangles sera précisément la longueur \(a\) que nous avons calculée, soit environ \(10,6\text{ cm}\).

Puisque ce carré reconstitué a un côté de \(10,6\text{ cm}\) et que le carreau de carrelage disponible est un carré de \(12\text{ cm}\) de côté, la réponse devient évidente : oui, le carré formé par les deux triangles peut être découpé dans le carreau de \(12\text{ cm}\).

Les Pièges à éviter

Le premier piège est de vouloir comparer l'aire totale des deux triangles avec l'aire du carreau. L'aire des deux triangles est égale à \(a^2 = 112,5\text{ cm}^2\) et l'aire du carreau est \(12^2 = 144\text{ cm}^2\). Si l'aire des triangles est inférieure à celle du carreau, cela ne garantit pas pour autant qu'ils rentrent dedans (problème de forme et d'encombrement). Cependant, dans ce cas précis, la forme carrée obtenue par l'assemblage valide la solution. Un autre piège fréquent est d'oublier que le triangle est isocèle et de ne pas savoir comment démarrer l'équation de Pythagore avec deux inconnues identiques.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points sur une question de 'prise d'initiative', même si vous n'arrivez pas au bout du calcul, écrivez vos idées. Mentionnez : 'Je cherche d'abord la longueur des côtés du triangle avec Pythagore'. Justifiez vos étapes : 'Je sais que le triangle est rectangle et isocèle, donc ses deux côtés sont égaux'. Présentez le résultat de la racine carrée avec une valeur approchée et une unité (cm). Enfin, concluez par une phrase claire répondant à la problématique posée par le décorateur. N'oubliez pas de citer la propriété utilisée : 'Dans le triangle rectangle, d'après le théorème de Pythagore...'. Une figure à main levée sur votre copie peut aussi aider le correcteur à comprendre votre raisonnement spatial.