Introduction aux notions clés du sujet

Cet exercice, issu de la session de juin 2015 à Pondichéry, est un exemple parfait de ce que l'on appelle une question à prise d'initiatives. Contrairement à un exercice classique où les étapes sont guidées, ici, l'élève doit lui-même modéliser le problème pour trouver la solution. L'énoncé mobilise trois piliers majeurs du programme de 3ème : la géométrie plane avec les aires et périmètres, la modélisation algébrique via le calcul littéral, et la résolution d'équations du premier degré. L'objectif est de déterminer la longueur du côté de trois petits triangles équilatéraux découpés dans un triangle plus grand, de telle sorte qu'une égalité de périmètre soit respectée entre les parties découpées et l'hexagone central restant. Pour réussir, il faut savoir passer d'un schéma géométrique à une expression mathématique abstraite.

Analyse méthodique et raisonnement pas à pas

La première étape cruciale pour résoudre ce type d'exercice est de définir une inconnue. Soit $x$ la mesure du côté d'un des trois petits triangles équilatéraux. Puisque ces triangles sont équilatéraux, tous leurs côtés mesurent $x$.

1. Calcul du périmètre des petits triangles :
Le périmètre d'un triangle équilatéral de côté $x$ est donné par la formule : $P = 3 \times x$. Comme l'énoncé mentionne la somme des périmètres des trois petits triangles identiques, nous obtenons l'expression suivante : $3 \times (3x) = 9x$. C'est notre première expression littérale.

2. Analyse de l'hexagone gris :
C'est ici que la prise d'initiative est la plus sollicitée. L'hexagone central est formé par la découpe des trois coins. Pour calculer son périmètre, observons ses 6 côtés :
- Trois côtés de l'hexagone correspondent aux bases des découpes effectuées. Ces trois segments mesurent chacun $x$.
- Les trois autres côtés de l'hexagone se situent sur les côtés initiaux du grand triangle équilatéral. Initialement, chaque côté du grand triangle mesurait 6 cm. En retirant deux petits triangles à chaque extrémité, le segment restant sur chaque côté du grand triangle mesure donc $6 - (x + x) = 6 - 2x$.

Le périmètre de l'hexagone est donc la somme de ces six segments : $P_{hexagone} = (x + x + x) + 3 \times (6 - 2x)$. En simplifiant cette expression, on obtient : $3x + 18 - 6x = 18 - 3x$.

3. Mise en équation et résolution :
L'énoncé stipule que la somme des périmètres des trois petits triangles est égale au périmètre de l'hexagone. Nous pouvons donc poser l'équation suivante :
$9x = 18 - 3x$.
Pour résoudre cette équation, on regroupe les termes en $x$ :
$9x + 3x = 18$, soit $12x = 18$.
Enfin, on isole $x$ : $x = 18 / 12 = 1,5$.
La mesure du côté des petits triangles est donc de 1,5 cm.

Les pièges à éviter lors de l'examen

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points lors de l'épreuve de mathématiques du Brevet. Tout d'abord, la confusion entre périmètre et aire. Certains élèves pourraient être tentés d'utiliser des formules d'aires, ce qui compliquerait inutilement l'exercice. Ensuite, l'erreur de modélisation du côté de l'hexagone est fréquente : beaucoup oublient de soustraire deux fois la valeur $x$ au côté de 6 cm. Il faut bien visualiser que chaque côté du grand triangle subit deux découpes (une à chaque sommet).

Un autre piège concerne les unités. Même si l'exercice reste en centimètres, il est impératif de mentionner l'unité dans la réponse finale pour assurer la clarté de la démonstration. Enfin, l'absence de rédaction peut être pénalisante. Même si vous n'arrivez pas au bout du calcul, sachez que dans une question à "prise d'initiative", le correcteur évalue principalement la cohérence de votre démarche et votre capacité à traduire un problème concret en langage mathématique.

Conseils de rédaction pour maximiser ses points

Pour obtenir le maximum de points sur cet exercice 7 de Pondichéry 2015, votre copie doit refléter un raisonnement structuré. Commencez par introduire clairement votre variable : "Soit $x$ la longueur du côté d'un petit triangle". Utilisez des connecteurs logiques (donc, d'après l'énoncé, on en déduit que...) pour lier vos calculs. Présentez la somme des périmètres des triangles d'un côté, et le périmètre de l'hexagone de l'autre, avant de poser l'égalité. N'oubliez pas la phrase de conclusion : "Le côté des petits triangles mesure 1,5 cm".

Rappelez-vous la mention en gras dans l'énoncé : toute trace de recherche sera valorisée. Si vous avez fait un schéma, écrit une formule ou même testé des valeurs (par exemple : "si le côté fait 1 cm, alors..."), laissez-les sur votre copie. Cela prouve au correcteur que vous avez engagé une réflexion constructive, ce qui est l'essence même de l'épreuve de mathématiques au Diplôme National du Brevet.