Introduction aux notions de Géométrie du Brevet

Cet exercice issu du sujet du Brevet de Pondichéry 2015 est un cas d'école pour les élèves de 3ème. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane, notamment la reconnaissance d'un triangle rectangle via les propriétés du cercle, l'application du théorème de Pythagore, l'usage de la trigonométrie et le calcul d'aires. Les tags imposés, Pythagore, Trigonométrie, ainsi qu'Aires et périmètres, constituent le socle de l'épreuve de mathématiques. Maîtriser ces outils permet non seulement de résoudre cet exercice, mais aussi de s'assurer une base solide pour le lycée.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé nous présente un segment $[AB]$ de 12 cm, son milieu $O$, et un point $C$ sur le cercle de centre $O$ passant par $A$. On nous donne également $AC = 6$ cm et un angle $\widehat{ABC} = 30^{\circ}$.

1. Construction de la figure

Pour réussir la construction en vraie grandeur, commencez par tracer le segment $[AB]$ de 12 cm. Placez le milieu $O$ (à 6 cm de chaque extrémité). Tracez le cercle de centre $O$ et de rayon $OA = 6$ cm. Pour placer $C$, utilisez un compas réglé sur 6 cm à partir du point $A$. L'intersection avec le cercle donne $C$. Vérifiez à l'aide d'un rapporteur que l'angle $\widehat{ABC}$ est cohérent avec vos mesures.

2. Analyse des affirmations (Vrai/Faux)

a. Le triangle ABC est rectangle

C'est une propriété classique du collège : si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle. Ici, $[AB]$ est un segment de 12 cm de milieu $O$, et $O$ est le centre du cercle passant par $A$. Donc $[AB]$ est bien un diamètre du cercle. Le point $C$ appartient à ce cercle. Par conséquent, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. Affirmation Vraie.

b. Le segment [BC] mesure 10 cm

Puisque le triangle est rectangle en $C$, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore ou la trigonométrie. Avec Pythagore : $AB^2 = AC^2 + BC^2$, soit $12^2 = 6^2 + BC^2 \implies 144 = 36 + BC^2 \implies BC^2 = 108$. Ainsi, $BC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \approx 10,39$ cm. Ce n'est pas égal à 10 cm. Affirmation Fausse.

c. L'angle AOC mesure 60 degrés

Considérons le triangle $AOC$. $OA$ est un rayon (6 cm), $OC$ est un rayon (6 cm) et l'énoncé nous dit que $AC = 6$ cm. Le triangle $AOC$ possède trois côtés de même longueur : il est donc équilatéral. Dans un triangle équilatéral, tous les angles mesurent $60^{\circ}$. Affirmation Vraie.

d. L'aire du triangle ABC est $18\sqrt{3}$ cm²

L'aire d'un triangle rectangle se calcule par la formule : $\text{Aire} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Ici, $\text{Aire} = \frac{AC \times BC}{2} = \frac{6 \times 6\sqrt{3}}{2} = \frac{36\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ cm². Affirmation Vraie.

e. L'angle BOC mesure 31 degrés

Les points $A, O, B$ sont alignés car $[AB]$ est un diamètre. L'angle $\widehat{AOB}$ est un angle plat de $180^{\circ}$. On sait que $\widehat{AOC} = 60^{\circ}$. Par soustraction : $\widehat{BOC} = 180 - 60 = 120^{\circ}$. On est loin des $31^{\circ}$ suggérés. Affirmation Fausse.

Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas confondre le rayon et le diamètre. Dans cet exercice, $AB=12$ est le diamètre, donc le rayon est de 6 cm. Une erreur fréquente consiste à utiliser 12 dans les formules de trigonométrie sans vérifier l'hypoténuse. De plus, ne confondez pas les valeurs exactes (comme $6\sqrt{3}$) et les valeurs approchées (10,39) lors des justifications : au Brevet, la précision est de mise.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez explicitement le théorème utilisé (Théorème du cercle circonscrit, Pythagore).
2. Présentez vos calculs de manière structurée : Formule -> Substitution -> Résultat.
3. N'oubliez jamais les unités ($cm$ pour les longueurs, $cm^2$ pour les aires) dans vos phrases de conclusion.