Introduction à la géométrie dans l'espace au Brevet

L'exercice 7 du sujet de Brevet Ameriquenord 2015 est un cas d'école incontournable pour tout élève de troisième. Il mobilise des compétences transversales essentielles : la vision dans l'espace, l'application du théorème de Pythagore dans des configurations complexes et la maîtrise des échelles (agrandissement-réduction). À travers l'exemple concret de la Pyramide du Louvre, cet exercice demande une rigueur méthodologique particulière, notamment dans la gestion des arrondis et des unités.

Analyse Méthodique : Calcul de la hauteur réelle

La première difficulté consiste à extraire un triangle rectangle pertinent d'une figure en trois dimensions. On nous donne une pyramide régulière à base carrée $ABCD$ de centre $H$ et de sommet $S$. Le côté du carré mesure $35,50$ mètres et les arêtes latérales (comme $[SA]$) mesurent $33,14$ mètres. Pour calculer la hauteur $SH$, il faut d'abord travailler dans la base carrée.

Étape 1 : Calcul de la demi-diagonale. Dans le carré $ABCD$ de côté $a = 35,50$, la diagonale $AC$ se calcule avec Pythagore ou la formule $a\sqrt{2}$. Ici, $AC = \sqrt{35,50^2 + 35,50^2} \approx 50,204$ m. La distance $AH$, qui est la moitié de la diagonale, est donc de $25,102$ m.

Étape 2 : Application de Pythagore dans le triangle $SAH$. Le triangle $SAH$ est rectangle en $H$ car $SH$ est la hauteur. Selon le théorème : $SA^2 = SH^2 + AH^2$. On cherche $SH$, donc $SH = \sqrt{SA^2 - AH^2} = \sqrt{33,14^2 - 25,102^2}$. Le calcul nous donne environ $21,64$ mètres. Attention, l'énoncé demande un arrondi au centimètre, soit deux chiffres après la virgule : $21,64$ m.

Maîtrise de l'échelle et construction du patron

La seconde partie de l'exercice porte sur l'agrandissement-réduction, ici une réduction à l'échelle $1/800$. C'est un concept clé du cycle 4. Le coefficient de réduction s'applique à toutes les longueurs linéaires de l'objet réel.

Pour le côté de la base : $35,50 \text{ m} = 3550 \text{ cm}$. En appliquant l'échelle : $3550 / 800 = 4,4375 \text{ cm}$. L'énoncé impose un arrondi au millimètre, soit $4,4$ cm (ou $44$ mm). Pour les arêtes latérales : $33,14 \text{ m} = 3314 \text{ cm}$. Le calcul $3314 / 800$ donne $4,1425 \text{ cm}$, ce qui s'arrondit à $4,1$ cm (ou $41$ mm).

La construction du patron nécessite ensuite l'utilisation du compas pour reporter les arêtes latérales à partir des sommets de la base carrée dessinée au centre. La précision est capitale : une erreur d'un millimètre peut invalider la fermeture théorique de la pyramide.

Les pièges à éviter lors de l'examen

De nombreux candidats confondent l'apothème (hauteur d'une face latérale) avec la hauteur de la pyramide elle-même. Souviens-toi : la hauteur $SH$ tombe perpendiculairement au centre de la base. Un autre piège fréquent réside dans les unités : assure-toi de convertir les mètres en centimètres avant d'appliquer une échelle de réduction pour éviter les erreurs de virgule. Enfin, respecte scrupuleusement les consignes d'arrondi : si on demande au millimètre, ne donne pas trois décimales.

Conseils de rédaction pour maximiser ses points

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, ne te contente pas de jeter des chiffres sur la copie. Nomme explicitement le triangle dans lequel tu travailles (ex: "Dans le triangle SAH rectangle en H..."). Cite le théorème utilisé ("D'après le théorème de Pythagore..."). Présente tes calculs de manière aérée et encadre tes résultats finaux avec leurs unités respectives.