Introduction aux notions clés de l'exercice

Cet exercice, issu de la session 2015 du Brevet des collèges (Métropole), est un modèle du genre pour tester la prise d'initiatives. Il ne se contente pas de demander un calcul isolé, mais oblige l'élève à mobiliser un arsenal de compétences géométriques : le théorème de Pythagore pour les longueurs et la trigonométrie pour les mesures d'angles. L'enjeu est ici concret : vérifier la conformité d'une rampe d'accès pour personnes à mobilité réduite (PMR) par rapport à des normes de sécurité précises. Dans ce contexte, la rigueur mathématique devient un outil de citoyenneté et d'ingénierie simple.

Analyse Méthodique de l'énoncé

L'exercice repose sur l'exploitation de deux documents. Le Document 1 nous donne un triangle TDS rectangle en S. Nous connaissons l'hypoténuse $DT = 50,2$ cm et le côté opposé à l'angle recherché $TS = 6$ cm. La première étape consiste à identifier le rapport trigonométrique pertinent. Puisque nous avons le côté opposé et l'hypoténuse, nous utiliserons le sinus.

Calcul de l'angle $\widehat{TDS}$ : $\sin(\widehat{TDS}) = \frac{TS}{DT} = \frac{6}{50,2}$. En utilisant la touche $\arcsin$ de la calculatrice, on trouve $\widehat{TDS} \approx 6,86^\circ$.

Cependant, le Document 2 introduit des conditions complexes. La rampe est conforme si l'angle est inférieur à $3^\circ$. Mais il existe des cas particuliers basés sur la longueur de l'horizontale $DS$. Pour savoir quelle norme appliquer, nous devons impérativement calculer $DS$.

Calcul de la longueur horizontale avec Pythagore

Pour déterminer $DS$, nous appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle TDS rectangle en S. Selon l'égalité de Pythagore : $DT^2 = DS^2 + TS^2$. En isolant $DS^2$, nous obtenons $DS^2 = DT^2 - TS^2$, soit $DS^2 = 50,2^2 - 6^2 = 2520,04 - 36 = 2484,04$. La racine carrée nous donne $DS = \sqrt{2484,04} \approx 49,84$ cm.

C'est ici que la prise d'initiative est cruciale : il faut convertir cette valeur en mètres pour la comparer aux normes du Document 2. $49,84$ cm correspond à $0,4984$ m. Cette valeur est strictement inférieure à $0,5$ m.

Comparaison aux normes et conclusion

Le Document 2 stipule que si l'horizontale est inférieure à $0,5$ m, l'angle peut aller jusqu'à $7^\circ$. Dans notre cas :
1. La longueur horizontale $DS \approx 0,4984$ m est bien inférieure à $0,5$ m.
2. L'angle calculé $\widehat{TDS} \approx 6,86^\circ$ est inférieur à la limite autorisée de $7^\circ$.
La rampe est donc parfaitement conforme à la norme en vigueur. Ce raisonnement en plusieurs étapes est la clé pour décrocher le maximum de points.

Les Pièges à éviter

Le premier piège est l'oubli de la conversion. Travailler avec des centimètres face à une norme exprimée en mètres est une erreur fréquente. Le second piège concerne l'arrondi. Si vous arrondissez trop tôt vos calculs intermédiaires, vous risquez de dépasser le seuil de $7^\circ$ ou de $0,5$ m. Gardez toujours deux ou trois décimales sur votre calculatrice. Enfin, ne confondez pas le sinus et la tangente : si vous utilisez $DS$ (calculé précédemment) pour trouver l'angle, utilisez la tangente, mais il est toujours préférable d'utiliser les données exactes de l'énoncé ($TS$ et $DT$) avec le sinus pour éviter de cumuler les erreurs d'approximation.

Conseils de rédaction pour le jour J

Pour satisfaire le correcteur, structurez votre réponse :
1. Annoncez le triangle et son sommet de l'angle droit.
2. Citez explicitement le théorème utilisé (Pythagore) ou la formule trigonométrique (SOH CAH TOA).
3. Faites apparaître les calculs littéraux avant l'application numérique.
4. Rédigez une phrase de conclusion qui répond directement à la question posée : "La rampe est-elle conforme ?". Une réponse purement mathématique sans interprétation finale pourrait être pénalisée.