Introduction aux notions de Géométrie Plane

Cet exercice issu du Brevet des collèges 2017 (Zone Amérique du Nord) est un pilier pour réviser la géométrie plane, le théorème de Pythagore et la manipulation des aires et périmètres. L'énoncé nous propose un programme de construction géométrique mêlant carrés et cercles, une configuration classique qui demande de la rigueur dans l'application des propriétés fondamentales du collège. Nous allons explorer comment passer d'une construction visuelle à une démonstration algébrique rigoureuse en utilisant les outils mathématiques de la classe de 3ème.

Analyse Méthodique de la Construction

La première étape consiste à comprendre l'interaction entre les objets géométriques créés par le logiciel. Le programme commence par un carré $ABCD$. Le point crucial ici est la construction du cercle de centre $A$ passant par $C$. En mathématiques, le cercle est l'ensemble des points situés à une distance égale du centre. Ainsi, le segment $[AC]$ est un rayon de ce cercle. En plaçant le point $E$ à l'intersection de ce cercle et de la demi-droite $[AB)$, on reporte mécaniquement la longueur de la diagonale du carré sur l'axe horizontal. C'est une méthode classique pour transformer une longueur oblique en longueur horizontale.

Démonstration par le Théorème de Pythagore

Dans la question 2a, on nous demande de calculer $AC$ sachant que $AB = 10$ cm. Puisque $ABCD$ est un carré, le triangle $ABC$ est un triangle rectangle en $B$. C'est ici que le théorème de Pythagore intervient. Selon l'égalité de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Comme les côtés d'un carré sont égaux, on a $AB = BC = 10$. Ainsi, $AC^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$. On en déduit que $AC = \sqrt{200}$ cm. Il est important de garder la forme radicale pour conserver la précision exacte demandée par l'énoncé.

Pour la question 2b, l'explication repose sur la définition même du cercle. Comme $E$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon $[AC]$, la distance $AE$ est égale au rayon du cercle. Par conséquent, $AE = AC = \sqrt{200}$ cm. Cette étape est souvent une source d'erreur pour les élèves qui cherchent des calculs complexes là où une simple propriété géométrique suffit.

Calcul d'Aires et Rapport de Proportionnalité

La question 2c nous demande de comparer l'aire du carré $DEFG$ à celle de $ABCD$. L'aire de $ABCD$ est simple : $Côté \times Côté = 10 \times 10 = 100$ cm². Pour le carré $DEFG$, nous devons d'abord trouver la longueur de son côté $DE$. Considérons le triangle $ADE$. Puisque $ABCD$ est un carré, l'angle $\widehat{DAB}$ est droit, ce qui rend le triangle $ADE$ rectangle en $A$. Appliquons de nouveau Pythagore : $DE^2 = AD^2 + AE^2$. Nous savons que $AD = 10$ et $AE = \sqrt{200}$. Donc $DE^2 = 10^2 + (\sqrt{200})^2 = 100 + 200 = 300$. L'aire du carré $DEFG$ étant égale à $DE^2$, on obtient $300$ cm². On constate bien que $300 = 3 \times 100$, prouvant que l'aire est triplée.

Résolution de Problème Inverse

Dans la dernière partie, on utilise une généralisation : l'aire de $DEFG$ est toujours le triple de l'aire de $ABCD$. Si l'on souhaite que l'aire de $DEFG$ soit de $48$ cm², il faut poser l'équation suivante : $3 \times \text{Aire}(ABCD) = 48$. Cela nous donne $\text{Aire}(ABCD) = 48 / 3 = 16$ cm². Puisque l'aire d'un carré est le carré de son côté ($AB^2$), nous devons résoudre $AB^2 = 16$. La solution positive est $AB = \sqrt{16} = 4$ cm. Ce type de raisonnement 'à l'envers' est fréquent au Brevet et demande une bonne maîtrise des équations de base.

Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas arrondir la valeur de $\sqrt{200}$ dès le début. Si vous utilisez 14,1 au lieu de $\sqrt{200}$, vos calculs d'aire suivants seront imprécis et vous risquez de ne pas trouver exactement le facteur 3. Un autre piège classique est d'oublier de préciser que le triangle est rectangle avant d'utiliser Pythagore : c'est une condition indispensable pour que le théorème s'applique. Enfin, ne confondez pas le périmètre (somme des côtés) et l'aire (surface intérieure), une erreur qui coûte cher en points.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir le maximum de points, soignez votre présentation. Commencez chaque calcul par : 'Dans le triangle [Nom] rectangle en [Sommet], d'après le théorème de Pythagore...'. Soulignez vos résultats finaux et n'oubliez jamais les unités ($cm$ pour les longueurs et $cm^2$ pour les surfaces). La clarté de votre raisonnement compte autant que l'exactitude du résultat aux yeux du correcteur.