Introduction au programme de calculs et au calcul littéral

Le sujet du Brevet 2018 de la zone Métropole comporte un exercice incontournable sur les programmes de calculs. Ces exercices sont conçus pour évaluer la capacité de l'élève à passer d'un langage naturel (ou d'un schéma) à une expression algébrique. En classe de 3ème, la maîtrise du calcul littéral est fondamentale, car elle constitue le socle du raisonnement mathématique au lycée. Cet exercice 6 met en jeu des compétences de distributivité, de factorisation et de manipulation de priorités opératoires.

Analyse méthodique de l'exercice

L'énoncé présente un schéma structuré en deux branches distinctes partant d'un nombre de départ. Ce type de représentation graphique aide à visualiser les étapes successives de calcul. Pour réussir, il faut traiter chaque branche séparément avant de procéder à l'opération finale (la multiplication).

Question 1 : La phase de test numérique

La première question demande de vérifier le résultat avec le nombre $1$. C'est une étape de mise en confiance. En suivant la branche de gauche : $1 \times 2 = 2$ puis $2 - 5 = -3$. En suivant la branche de droite : $1 \times 3 = 3$ puis $3 + 2 = 5$. La dernière étape consiste à multiplier les deux résultats obtenus : $(-3) \times 5 = -15$. Le résultat est bien $-15$. Cette question permet de valider la compréhension du schéma avant d'attaquer la modélisation.

Question 2 : La modélisation par l'expression littérale

Ici, on remplace le nombre $1$ par la variable $x$. Le raisonnement reste identique : la branche de gauche produit l'expression $(2x - 5)$ et la branche de droite produit $(3x + 2)$. Le programme demande de multiplier ces deux blocs. L'expression correcte est donc $B = (2x - 5) \times (3x + 2)$. Pourquoi pas $A$ ? Car $A$ propose un carré qui n'apparaît pas dans la première branche. Pourquoi pas $C$ ? Car l'absence de parenthèses dans l'expression $C$ modifie totalement les priorités opératoires : selon la convention, la multiplication s'appliquerait à $5$ et $3x$ uniquement, ce qui ne correspond pas au schéma.

Question 3 : La démonstration d'égalité (Développer vs Factoriser)

L'affirmation de Lily porte sur l'expression $D = (3x + 2)^2 - (x + 7)(3x + 2)$. Pour prouver qu'elle est égale à $B$, deux méthodes s'offrent à toi. La méthode la plus rapide et la plus 'experte' en 3ème est la factorisation. On remarque que $(3x + 2)$ est un facteur commun. En factorisant, on obtient : $D = (3x + 2)[(3x + 2) - (x + 7)]$. En simplifiant l'intérieur des crochets : $D = (3x + 2)(3x + 2 - x - 7)$, ce qui donne $D = (3x + 2)(2x - 5)$. On retrouve exactement l'expression $B$. L'affirmation de Lily est donc vraie. Tu aurais aussi pu développer $B$ et $D$ séparément pour vérifier s'ils aboutissent au même polynôme réduit $6x^2 - 11x - 10$.

Les pièges classiques à éviter

L'erreur la plus fréquente réside dans la gestion des signes lors de la suppression des parenthèses, notamment devant un signe 'moins'. Dans la question 3, lors du calcul de $(3x + 2) - (x + 7)$, beaucoup d'élèves oublient de changer le signe du $7$, écrivant $- x + 7$ au lieu de $- x - 7$. Un autre piège est l'oubli des parenthèses lors de la multiplication de deux binômes : sans elles, le calcul perd son sens mathématique par rapport au programme imposé.

Conseil de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, ne te contente pas de donner la lettre de l'expression correcte. Écris explicitement les étapes : 'Branche gauche : $2x - 5$', 'Branche droite : $3x + 2$'. Pour la démonstration, précise bien : 'Je développe ou je factorise pour comparer'. Une copie claire avec des étapes de calcul alignées séduit toujours le correcteur.