Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice 7 du sujet de mathématiques du Brevet 2018 (Série Générale, Métropole) est un modèle du genre pour tester trois piliers du programme de 3ème : le Théorème de Pythagore, la Trigonométrie dans le triangle rectangle et la gestion des Grandeurs Composées (ici, la vitesse ascensionnelle). L'énoncé place l'élève dans une situation concrète de course de montagne, demandant une capacité d'abstraction pour modéliser des pentes de terrain en triangles rectangles. Comprendre comment passer d'un angle à une longueur ou d'un dénivelé à une vitesse est crucial pour décrocher la mention au Brevet.

Analyse Méthodique de l'Étape 1 : Le Théorème de Pythagore

La première question nous demande de vérifier un dénivelé. En observant la Figure 2, on identifie un triangle rectangle formé par le déplacement horizontal de $3790$ m et la longueur de la pente de $3800$ m. Pour trouver le troisième côté (le dénivelé vertical), le réflexe immédiat doit être le théorème de Pythagore.
Ici, l'hypoténuse est la pente elle-même ($3800$ m). La relation s'écrit donc : $Pente^2 = Horizontal^2 + Dénivelé^2$.
Pour isoler le dénivelé, on effectue la soustraction des carrés : $Dénivelé^2 = 3800^2 - 3790^2$.
Calculons : $14 440 000 - 14 364 100 = 75 900$.
En prenant la racine carrée de $75 900$, on obtient environ $275,4995...$, ce qui correspond bien aux $275,5$ m demandés par l'énoncé. La précision dans la rédaction, en mentionnant bien que le triangle est supposé rectangle pour appliquer le théorème, est fondamentale pour obtenir tous les points.

Analyse Méthodique de l'Étape 2 : L'usage de la Trigonométrie

La seconde étape introduit une notion différente. Nous ne connaissons plus la base horizontale, mais la longueur de la pente ($4,1$ km) et l'angle d'inclinaison ($12^\circ$).
Attention au piège des unités ! Il faut impérativement convertir $4,1$ km en mètres, soit $4100$ m, pour rester cohérent avec la première étape.
Dans le triangle rectangle formé, par rapport à l'angle de $12^\circ$, le dénivelé est le côté opposé et la pente est l'hypoténuse. Le rapport trigonométrique qui lie ces deux données est le Sinus (SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse).
On pose l'équation : $\sin(12^\circ) = \frac{Dénivelé2}{4100}$.
On en déduit : $Dénivelé2 = 4100 \times \sin(12^\circ)$.
À la calculatrice, $\sin(12^\circ) \approx 0,2079$. Ainsi, $Dénivelé2 \approx 852,4$ m. Cette étape montre l'importance de bien savoir choisir entre Cosinus, Sinus et Tangente en fonction des côtés connus.

Analyse de l'Objectif : Vitesse Ascensionnelle et Durées

La dernière question synthétise l'ensemble. Pour savoir si le coureur atteint son objectif de $1400$ m/h, il faut calculer sa propre vitesse ascensionnelle ($V_a$).
1. Calcul du dénivelé total : On additionne les deux étapes : $275,5 + 852,4 = 1127,9$ m.
2. Conversion du temps : Le coureur met $48$ minutes. La vitesse demandée est en mètres par heure. Il faut donc convertir $48$ min en heures. On divise par $60$ : $48 / 60 = 0,8$ h.
3. Calcul de Va : La formule est donnée : $V_a = \frac{Dénivelé}{Durée}$.
$V_a = 1127,9 / 0,8 = 1409,875$ m/h.
Conclusion : Comme $1409,9 > 1400$, le coureur a atteint son objectif. Cette partie nécessite une grande rigueur dans les conversions de temps, un point souvent négligé par les élèves de 3ème.

Les Pièges à éviter

Le piège numéro un de cet exercice réside dans les unités. Mélanger des kilomètres ($4,1$ km) avec des mètres ($3790$ m) conduit à un résultat totalement erroné. Toujours tout convertir dans l'unité la plus petite ou celle demandée par la question finale.
Le deuxième piège est la confusion des formules trigonométriques. Un bon moyen mnémotechnique est "SOH CAH TOA". Si vous cherchez le côté opposé avec l'hypoténuse, c'est le Sinus (SOH).
Enfin, pour les durées, ne faites jamais l'erreur de noter $48$ minutes comme $0,48$ heure ! Une heure dure $60$ minutes, pas $100$. Le passage par la fraction $48/60$ est obligatoire.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour maximiser vos points, structurez vos réponses :
1. Nommez le triangle et précisez qu'il est rectangle.
2. Citez le théorème utilisé (Ex: "D'après le théorème de Pythagore...").
3. Écrivez la formule littérale avec les noms des segments avant de passer aux chiffres.
4. Encadrez votre résultat final et n'oubliez jamais l'unité ($m$, $m/h$, etc.). Une réponse sans unité peut être pénalisée par le correcteur. Soyez précis sur les arrondis demandés (souvent au dixième ou à l'unité).