Introduction aux Statistiques du Brevet
Le sujet du Brevet de Mathématiques 2017/2018 en Métropole propose un exercice ancré dans le monde réel : l'analyse de la pollution de l'air par les particules fines PM10. Cet exercice mobilise des compétences fondamentales en Statistiques, une thématique quasi systématique à l'examen. Il s'agit ici de manipuler des indicateurs de position (moyenne, médiane) et des indicateurs de dispersion (étendue) pour comparer deux séries de données concernant les villes de Lyon et Grenoble.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'exercice se décompose en trois phases d'analyse distinctes, mêlant calcul pur et interprétation de données brutes ou synthétiques.
1. Comparaison des moyennes : Lyon vs Grenoble
Pour la ville de Lyon, la concentration moyenne est déjà fournie : $72,5 \mu g/m^3$. Le travail de l'élève consiste donc à calculer la moyenne pour Grenoble à partir du tableau des relevés journaliers. Pour rappel, la moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total.
Le calcul à effectuer est le suivant : $M = \frac{32 + 39 + 52 + 57 + 78 + 63 + 60 + 82 + 82 + 89}{10}$. En effectuant la somme, nous obtenons $634$, que nous divisons par l'effectif (10 jours). La moyenne de Grenoble est donc de $63,4 \mu g/m^3$.
Conclusion : Comme $72,5 > 63,4$, c'est la ville de Lyon qui a présenté la plus forte concentration moyenne en PM10 sur cette période.
2. L'étendue : Mesurer la dispersion des polluants
L'étendue d'une série est la différence entre la valeur la plus haute (le maximum) et la valeur la plus basse (le minimum). C'est un indicateur de la variabilité des données.
- Pour Lyon : Les données sont déjà triées. $Maximum = 107$ et $Minimum = 22$. L'étendue est donc $107 - 22 = 85 \mu g/m^3$.
- Pour Grenoble : En observant le tableau, on identifie la valeur maximale le 25 janvier ($89$) et la valeur minimale le 16 janvier ($32$). L'étendue est $89 - 32 = 57 \mu g/m^3$.
Interprétation : Lyon possède une étendue plus importante ($85 > 57$). Cela signifie que les concentrations de particules fines à Lyon ont été beaucoup plus irrégulières et disparates que celles de Grenoble, qui présentent une certaine stabilité relative, malgré la pollution.
3. Exploitation de la Médiane et Seuil d'Alerte
La question 3 demande de valider une affirmation sur le dépassement du seuil d'alerte à Lyon ($80 \mu g/m^3$). C'est ici que la compréhension de la médiane est cruciale. La médiane de Lyon est de $83,5 \mu g/m^3$. Par définition, la médiane partage la série en deux groupes de même effectif : au moins 50% des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane.
Puisque la période compte 10 jours, 50% correspondent à 5 jours. Si la médiane est de $83,5 \mu g/m^3$, cela implique qu'au moins 5 jours ont connu une concentration supérieure ou égale à cette valeur. Comme $83,5 > 80$, l'affirmation est donc exacte : le seuil de $80$ a bien été dépassé au moins 5 fois.
Les Pièges à Éviter
Ne pas oublier les unités : Dans une analyse de pollution, les résultats ($85$, $63,4$, etc.) doivent impérativement être suivis de l'unité $\mu g/m^3$. L'absence d'unité peut entraîner une perte de points sur la rigueur.
Confusion entre Moyenne et Médiane : La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (le pic à $107$ à Lyon tire la moyenne vers le haut), alors que la médiane décrit le centre de la série. Ne les confondez pas dans votre argumentation.
Erreur de lecture : Pour Grenoble, les données ne sont pas classées par ordre croissant de concentration mais par date. Pour trouver l'étendue ou la médiane, il faut être vigilant à bien identifier les extrêmes.
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour obtenir le maximum de points, structurez vos réponses :
1. Énoncez la formule ou la définition utilisée (ex: 'L'étendue est la différence entre...').
2. Présentez le calcul de manière claire (ex: '$107 - 22 = 85$').
3. Rédigez une phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée en citant les noms des villes.
L'utilisation du vocabulaire spécifique (série statistique, effectif total, indicateurs de dispersion) montre au correcteur que vous maîtrisez le sujet au-delà du simple calcul arithmétique.