Introduction aux notions du Brevet : Fonctions et Pourcentages

Cet exercice issu du Brevet 2018 (Zone Étrangers) est un cas d'école parfait pour réviser trois piliers du programme de troisième : les pourcentages, la modélisation par des fonctions affines et la résolution d'équations/inéquations. À travers la gestion d'une facture de gaz, l'élève est amené à transformer une situation concrète en modèle mathématique. Comprendre comment le prix du kWh et l'abonnement annuel s'articulent permet de maîtriser la structure d'une fonction de type $f(x) = ax + b$.

Analyse Méthodique de l'exercice

La première question demande d'identifier le tarif utilisé par la famille de Romane en 2016. Pour cela, il faut tester les deux options proposées dans le tableau. Pour le Tarif A, le calcul est : $17500 \times 0,0609 + 202,43$. Pour le Tarif B, il est : $17500 \times 0,0574 + 258,39$. En effectuant l'opération pour le Tarif A, on trouve exactement $1268,18$ €, ce qui correspond au montant indiqué. Cette étape valide la compréhension de la structure d'un coût total (partie variable + partie fixe).

La deuxième partie traite d'une diminution en pourcentage. Une baisse de $20\%$ de la consommation se traduit mathématiquement par un coefficient multiplicateur de $1 - \frac{20}{100} = 0,8$. La nouvelle consommation en 2017 est donc $17500 \times 0,8 = 14000$ kWh. Pour calculer les économies réalisées, il ne suffit pas de regarder la consommation, il faut calculer le nouveau montant avec le Tarif A : $14000 \times 0,0609 + 202,43 = 1055,03$ €. L'économie est la différence entre la facture de 2016 et celle de 2017 ($1268,18 - 1055,03$).

Enfin, l'exercice bascule sur la modélisation fonctionnelle. Les fonctions $f(x) = 0,0609x + 202,43$ et $g(x) = 0,0574x + 258,39$ sont des fonctions affines. Graphiquement, elles sont représentées par des droites. Résoudre l'inéquation $f(x) < g(x)$ revient à chercher pour quelle consommation le tarif A reste moins cher que le tarif B. On isole $x$ en regroupant les termes : $0,0609x - 0,0574x < 258,39 - 202,43$. On obtient $0,0035x < 55,96$, soit $x < \frac{55,96}{0,0035}$. Le résultat est $x < 15988,57$.

Les Pièges à éviter

Attention à la confusion classique entre baisse de consommation et baisse de prix total. Le pourcentage s'applique uniquement aux kWh, pas au montant final car l'abonnement reste fixe. Un autre piège réside dans la résolution de l'inéquation : si vous divisez par un nombre négatif, n'oubliez pas d'inverser le sens de l'inégalité (ce qui n'est pas le cas ici, mais reste un point de vigilance crucial). Enfin, pour la valeur approchée, veillez à bien lire la consigne : 'au kWh près'.

Conseils de Rédaction pour le jour J

Pour obtenir tous les points, soignez la présentation. Nommez clairement les étapes : 'Étape 1 : Calcul de la nouvelle consommation'. Justifiez la nature des fonctions en écrivant : 'La fonction $f$ est de la forme $ax + b$, c'est donc une fonction affine'. Pour l'inéquation, concluez par une phrase en français : 'Le tarif A est plus avantageux pour une consommation inférieure à environ 15 988 kWh'. La clarté de votre raisonnement est aussi importante que l'exactitude du résultat.