Introduction aux enjeux de l'exercice

Cet exercice, issu du sujet du Brevet de Mathématiques 2018 pour la zone Métropole, est un modèle de transversalité. Il mobilise trois compétences clés du socle commun de la classe de 3ème : l'algorithmique-programmation via le logiciel Scratch, les aires et périmètres, et enfin les transformations géométriques (homothétie et réduction). L'objectif est de comprendre comment une suite d'instructions logiques se traduit graphiquement et comment les propriétés géométriques évoluent lors d'un changement d'échelle.

Analyse Méthodique de l'Algorithme Scratch

La première partie de l'exercice repose sur la lecture attentive d'un script Scratch. Le programme initialise la position du stylo à l'origine du repère (0,0) et définit une variable cruciale : Longueur, fixée initialement à 300 pixels. Deux blocs personnalisés sont définis : 'Carré' et 'Triangle'.

• Le bloc Carré : Effectue une boucle de 4 itérations. À chaque étape, le stylo avance de la valeur stockée dans Longueur et tourne à gauche de 90°. Cela produit un carré fermé.
• Le bloc Triangle : Effectue une boucle de 3 itérations avec une rotation de 120°. Puisque la somme des angles extérieurs d'un polygone est de 360°, tourner de 120° à chaque sommet permet de dessiner un triangle équilatéral.

À la ligne 7, le programme a déjà exécuté les deux blocs. Si Longueur est à 300, le tracé dessine un carré de 300 pixels de côté surmonté d'un triangle de même base. L'échelle de 1 cm pour 50 pixels est ici primordiale : $300 / 50 = 6$. L'élève doit donc tracer sur sa copie un carré de 6 cm de côté.

Calcul des coordonnées et mise à jour des variables

La question 1.b porte sur la position du stylo après la ligne 8 : avancer de Longueur / 6. À ce stade, le stylo est revenu à l'origine (0,0) après avoir bouclé les figures (car les blocs finissent là où ils ont commencé). Avancer de $300 / 6 = 50$ pixels vers la droite (orientation à 90°) place le stylo aux coordonnées $(50 ; 0)$.

Pour la question 2, l'observation de la figure finale est déterminante. On constate que le petit carré est centré par rapport au grand. Le décalage à gauche est de 50 pixels ($300/6$). Pour garder la symétrie, le décalage à droite doit être identique. La largeur totale étant de 300, la nouvelle longueur est donc $300 - 50 - 50 = 200$ pixels. La ligne 9 doit donc être complétée par : mettre Longueur à Longueur * 2 / 3 ou mettre Longueur à Longueur - 100.

Les transformations géométriques : Homothétie et Aires

La partie 3 aborde la notion d'homothétie. Passer du grand carré (300 px) au petit carré (200 px) correspond à une réduction de rapport $k$. Le calcul du rapport est simple : $k = \text{nouvelle longueur} / \text{ancienne longueur} = 200 / 300 = 2/3$. C'est une homothétie de rapport $2/3$ (en supposant un centre approprié sur l'axe de symétrie).

Concernant le rapport des aires, c'est un point de cours fondamental souvent oublié. Si les longueurs sont multipliées par un rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$. Ici, le rapport des aires est $(2/3)^2 = 4/9$. Cela signifie que l'aire du petit carré représente environ 44% de l'aire du grand carré.

Les Pièges Classiques à éviter

1. L'angle de rotation : Dans Scratch, pour tracer un triangle équilatéral (angles internes de 60°), il faut tourner de l'angle supplémentaire, soit $180 - 60 = 120°$. Beaucoup d'élèves écrivent 60° par erreur.
2. L'échelle : Ne confondez pas pixels et centimètres. Une erreur de conversion dès la première question invalide tout le tracé.
3. Le rapport des aires : Ne dites pas que l'aire est réduite de 2/3. C'est le piège le plus fréquent au Brevet. Le carré du rapport est obligatoire pour les surfaces.

Conseils de rédaction pour gagner tous les points

Pour la question de construction, utilisez une règle graduée précise et vérifiez vos angles droits à l'équerre. Pour la question sur la transformation, nommez explicitement l'homothétie et justifiez le rapport par un calcul de fraction simplifié ($200/300 = 2/3$). Pour le rapport des aires, citez la propriété du cours : 'Si les dimensions d'une figure sont multipliées par $k$, alors son aire est multipliée par $k^2$'. Cela prouve au correcteur que vous ne devinez pas le résultat, mais que vous appliquez un théorème maîtrisé.