Introduction aux notions de Géométrie et d'Algèbre du Brevet

L'exercice 5 du sujet de Brevet Asie 2018 est un modèle d'interdisciplinarité entre la géométrie plane et le calcul littéral. Il demande aux élèves de troisième de mobiliser leurs connaissances sur les aires et périmètres, tout en introduisant une variable $x$ (représentée ici par un point d'interrogation) pour aboutir à une résolution d'équation ou d'inéquation. Ce type d'exercice est extrêmement fréquent car il permet d'évaluer la capacité d'un candidat à modéliser une situation concrète (la construction d'un garage) par un outil mathématique rigoureux. Maîtriser le passage du schéma à l'expression littérale est la clé pour obtenir les points sur cette partie du programme.

Analyse Méthodique de l'énoncé

Pour réussir cet exercice, la première étape consiste à bien analyser la figure géométrique fournie. Le garage est représenté par une surface hachurée qui n'est pas une figure usuelle directe (comme un simple rectangle ou un triangle). Cependant, par décomposition, on s'aperçoit que cette forme est un trapèze rectangle ou, plus simplement pour un élève de 3ème, l'assemblage d'un rectangle et d'un triangle rectangle.

Étape 1 : Décomposition de la surface

Appelons $x$ la longueur variable marquée par le point d'interrogation. Nous avons :
1. Une base rectangulaire de largeur $3~m$ et de hauteur $x$.
2. Une partie supérieure triangulaire. Attention ici : la base du triangle est la même que celle du rectangle ($3~m$), et sa hauteur est explicitement donnée comme étant de $1,6~m$.

Étape 2 : Expression littérale de l'aire totale

L'aire du garage $A_{totale}$ est la somme de l'aire du rectangle et de l'aire du triangle :
- $A_{rectangle} = longueur \times largeur = 3 \times x = 3x$.
- $A_{triangle} = \frac{base \times hauteur}{2} = \frac{3 \times 1,6}{2} = \frac{4,8}{2} = 2,4~m^2$.
L'expression de l'aire totale est donc : $A(x) = 3x + 2,4$.

Étape 3 : Mise en équation du problème

L'énoncé impose une contrainte : la surface ne doit pas dépasser $20~m^2$. En langage mathématique, "ne pas dépasser" signifie "être inférieur ou égal à". Nous devons donc résoudre l'inéquation suivante :
$3x + 2,4 \le 20$.

Étape 4 : Résolution et conclusion

Pour isoler $x$, nous procédons par étapes :
1. Soustraire $2,4$ de chaque côté : $3x \le 20 - 2,4 \Rightarrow 3x \le 17,6$.
2. Diviser par $3$ : $x \le \frac{17,6}{3}$.
En effectuant le calcul, on trouve $x \le 5,8666...$. Puisque l'on cherche la valeur maximale, il faut être précis dans l'arrondi ou donner la valeur exacte. La valeur maximale que Paul peut choisir pour cette longueur est environ $5,86~m$ (ou $5,87~m$ selon l'arrondi demandé, mais ici on restera sur la borne supérieure stricte liée à la contrainte de surface).

Les Pièges à éviter

De nombreux candidats tombent dans des erreurs classiques lors de cet exercice. Premièrement, l'oubli de la division par 2 pour l'aire du triangle : beaucoup multiplient simplement la base par la hauteur. Deuxièmement, la confusion entre les dimensions. Il est crucial de bien identifier que le $1,6~m$ correspond uniquement à la partie haute et non à la hauteur totale du garage. Enfin, faites attention au vocabulaire : "variable" signifie que vous devez introduire une lettre (généralement $x$) pour pouvoir faire du calcul littéral. Ne tentez pas de deviner le résultat par tâtonnement, la méthode algébrique est celle attendue par les correcteurs du Brevet.

Conseils de Rédaction pour le jour J

Pour obtenir le maximum de points (le barème prévoit souvent des points pour la démarche), commencez par définir clairement votre variable : "Soit $x$ la longueur variable en mètres". Présentez vos formules d'aire de manière séparée avant de les additionner. Même si vous n'arrivez pas au bout de la résolution de l'inéquation, le simple fait d'avoir écrit l'expression $3x + 2,4$ prouve au correcteur que vous avez compris la modélisation du problème. N'oubliez pas l'unité (mètres) dans votre phrase de conclusion finale. La clarté de votre schéma mental et de votre copie fera la différence pour atteindre la mention Très Bien.