Introduction : L'Algorithmique et le Calcul Littéral au Brevet

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges (DNB) de 2019 en Polynésie, est un exemple parfait de l'interdisciplinarité entre l'algorithmique (Scratch) et le calcul littéral. Dans le cadre de l'épreuve de mathématiques de 3ème, ces deux thématiques représentent souvent un tiers des points. L'objectif ici est de comprendre comment un script de programmation visuelle peut être traduit en une expression mathématique rigoureuse pour résoudre des problèmes d'équations.

Analyse Méthodique : Comprendre les Scripts de Calcul

L'exercice présente deux « lutins », chacun possédant sa propre logique de calcul. Analysons d'abord le fonctionnement du Lutin 1. Son script suit une séquence linéaire de 6 instructions. La variable $x$ est initialisée par l'utilisateur via la commande 'demander'. Ensuite, plusieurs opérations s'enchaînent : une addition, une multiplication par 2, puis une soustraction de la valeur initiale. Il est crucial ici de comprendre que la variable $x$ est mise à jour à chaque étape, écrasant la valeur précédente.

Le Lutin 2, quant à lui, utilise une logique plus directe. Son script s'active lors de la réception d'un message. Il effectue une multiplication par 7 suivie d'une soustraction de 8. Ces structures sont classiques au Brevet : on vous demande d'abord de tester le programme avec des valeurs numériques avant de passer à l'abstraction algébrique.

Guide de Résolution Question par Question

Question 1 : Vérification numérique
Pour le Lutin 1, avec la valeur $7$ :
1. Addition : $7 + 5 = 12$
2. Multiplication : $12 \times 2 = 24$
3. Soustraction : $24 - 7 = 17$. Le résultat est correct.
Pour le Lutin 2, avec la valeur $7$ :
1. Multiplication : $7 \times 7 = 49$
2. Soustraction : $49 - 8 = 41$. Le résultat est également validé.

Question 2 : Manipulation des nombres relatifs
Si on saisit $-4$ pour le Lutin 2 :
Le calcul devient $7 \times (-4) - 8$. Attention à la règle des signes : un produit d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif. Ainsi, $7 \times (-4) = -28$. Enfin, $-28 - 8 = -36$. C'est un point de vigilance majeur pour les élèves de 3ème.

Question 3 : Passage au calcul littéral
C'est ici que l'exercice bascule vers l'algèbre. Si on appelle $x$ le nombre saisi :
Instruction 3 : La nouvelle valeur est $x + 5$.
Instruction 4 : On multiplie TOUT par 2, soit $2(x + 5) = 2x + 10$.
Instruction 5 : On soustrait le nombre de départ, soit $(2x + 10) - x$.
En simplifiant cette expression, on obtient $2x - x + 10$, ce qui donne $x + 10$. Cette démonstration prouve que le programme du Lutin 1 revient simplement à ajouter 10 au nombre de départ.

Question 4 : Optimisation du code
Célia a raison. Puisque le résultat final est toujours $x + 10$, les instructions 3, 4 et 5 sont redondantes si on les remplace par une seule instruction effectuant directement l'ajout de 10. Cela montre une compétence clé en informatique : l'optimisation de code.

La Résolution d'Équation (Question 5)

Paul cherche le nombre pour lequel les deux lutins donnent le même résultat. Cela revient à résoudre l'équation suivante :
Résultat Lutin 1 = Résultat Lutin 2
$x + 10 = 7x - 8$.
Pour résoudre cette équation du premier degré :
1. On regroupe les $x$ d'un côté : $10 + 8 = 7x - x$
2. On simplifie : $18 = 6x$
3. On divise par le coefficient de $x$ : $x = 18 / 6 = 3$.
Le nombre cherché par Paul est donc 3.

Les Pièges à Éviter au Brevet

1. L'oubli des parenthèses : Dans la question 3, lors de la multiplication par 2, beaucoup d'élèves écrivent $x + 5 \times 2$, ce qui est faux à cause de la priorité opératoire. Il faut multiplier l'ensemble du résultat précédent.
2. Les signes dans les équations : Lors du passage d'un terme de l'autre côté de l'égalité (le fameux 'changement de côté, changement de signe'), les erreurs sont fréquentes. Soyez rigoureux lors de l'étape $7x - x$.
3. Confusion entre 'réponse' et 'x' : Dans Scratch, le bloc 'réponse' contient la valeur saisie au début, tandis que 'x' est une variable de stockage qui évolue. Ne les confondez pas dans votre raisonnement littéral.

Conseil de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, ne vous contentez pas de donner le résultat final. Présentez vos calculs ligne par ligne. Pour la question sur l'équation, commencez par une phrase d'introduction : « Soit $x$ le nombre cherché, on résout l'équation suivante... ». Une copie propre et structurée avec des étapes logiques rassure le correcteur sur votre compréhension du sujet.