Introduction aux notions clés du Brevet

L'exercice 6 du Brevet de Mathématiques 2019 (Métropole) est un pilier de l'épreuve. Il mobilise quatre piliers du programme de 3ème : les programmes de calculs, les fonctions, les équations et le calcul littéral. Cet exercice demande à l'élève de passer d'un énoncé textuel ou visuel à une modélisation algébrique rigoureuse. Comprendre comment transformer une suite d'instructions en une expression comme \(f(x)\) est essentiel pour obtenir une note d'excellence.

Analyse Méthodique : Question par Question

Dans la première partie, on nous demande de vérifier des valeurs numériques. C'est une étape de mise en confiance. Pour le Programme 1, avec le nombre 5 : on multiplie par 3 (\(5 \times 3 = 15\)), puis on ajoute 1 (\(15 + 1 = 16\)). Pour le Programme 2, la structure est différente car elle se divise en deux branches : on soustrait 1 d'un côté (\(5 - 1 = 4\)) et on ajoute 2 de l'autre (\(5 + 2 = 7\)). Le produit final (\(4 \times 7 = 28\)) confirme les données de l'énoncé. Cette vérification est cruciale : elle valide votre compréhension de la structure de l'algorithme.

La Modélisation Algébrique (Fonctions)

L'étape suivante consiste à généraliser. Si le nombre de départ est \(x\), le Programme 1 devient une fonction affine : \(A(x) = 3x + 1\). La question 2.b nous demande de trouver l'antécédent de 0. Résoudre \(A(x) = 0\) revient à résoudre l'équation \(3x + 1 = 0\). En isolant \(x\), on obtient \(x = -\frac{1}{3}\). Attention, beaucoup d'élèves oublient de changer le signe lors du passage du terme constant de l'autre côté de l'égalité.

Le Calcul Littéral : Développement et Réduction

La fonction \(B(x) = (x - 1)(x + 2)\) illustre la double distributivité. Pour développer cette expression, il faut appliquer la règle : \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\). Ici, \(x \times x + x \times 2 - 1 \times x - 1 \times 2\), ce qui donne après réduction \(B(x) = x^2 + x - 2\). La réduction est une étape souvent négligée : regrouper les termes en \(x^2\), en \(x\) et les constantes est impératif pour la clarté de votre copie.

Résolution d'Équations Complexes

La dernière partie est la plus technique. On nous demande quand les deux programmes donnent le même résultat, ce qui revient à chercher \(x\) tel que \(A(x) = B(x)\), ou encore \(B(x) - A(x) = 0\). L'énoncé guide l'élève en faisant démontrer que \(B(x) - A(x) = (x + 1)(x - 3)\). C'est une équation produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On résout donc séparément \(x + 1 = 0\) et \(x - 3 = 0\). Les solutions sont \(-1\) et \(3\). Ce raisonnement est un classique du Brevet.

Les Pièges à Éviter

1. Les erreurs de signes : Lors du développement de \((x-1)(x+2)\), le signe moins devant le 1 doit être distribué avec vigilance. 2. La confusion entre image et antécédent : 'Déterminer le nombre pour obtenir 0' signifie chercher l'antécédent, pas calculer l'image de 0. 3. L'oubli de la phrase de conclusion : Pour l'équation finale, précisez bien : 'Les nombres à choisir au départ sont -1 et 3'.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour maximiser vos points, structurez vos réponses. Commencez par 'Soit \(x\) le nombre choisi'. Utilisez des connecteurs logiques comme 'D'une part... D'autre part...' ou 'On en déduit que...'. Encadrez vos résultats finaux. La présentation compte pour une part non négligeable de l'évaluation globale en mathématiques.