Introduction aux thèmes de l'exercice : Géométrie et Propriétés des Quadrilatères

Cet exercice, issu du sujet de Mathématiques du Brevet 2019 (Zone Asie), est un classique de la géométrie plane en classe de 3ème. Il sollicite des connaissances fondamentales sur les parallélogrammes particuliers et l'utilisation du théorème de Pythagore dans sa forme réciproque ou contraposée. L'objectif pédagogique est double : d'une part, savoir interpréter le codage d'une figure (même réalisée à main levée) et, d'autre part, structurer un raisonnement déductif rigoureux pour valider ou infirmer une conjecture géométrique. Le candidat doit ici naviguer entre les définitions du rectangle, du carré et les relations métriques dans le triangle.

Analyse de la figure : Ce que le codage nous apprend réellement

Dans cet énoncé, la mention 'main levée' est cruciale. Elle signifie que l'élève ne doit pas se fier à sa règle ou à son rapporteur pour conclure sur la nature des angles ou des longueurs, mais uniquement aux données numériques fournies et au codage visuel. Nous avons un quadrilatère $ABCD$ dont les diagonales se coupent en un point $O$. Le codage nous indique clairement que les quatre segments $[OA]$, $[OB]$, $[OC]$ et $[OD]$ sont de même longueur. En géométrie, si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si, en plus, ces diagonales sont de même longueur, alors le quadrilatère est un rectangle. Ici, le fait que $OA = OB = OC = OD$ implique à la fois que $O$ est le milieu des deux diagonales $[AC]$ et $[BD]$ (donc c'est un parallélogramme) et que $AC = BD$ (donc c'est un rectangle).

Question 1 : Peut-on affirmer que ABCD est un rectangle ?

Pour répondre à cette question, il faut s'appuyer sur les propriétés des diagonales. Comme mentionné précédemment, le point $O$ est le milieu des segments $[AC]$ et $[BD]$ car $OA = OC$ et $OB = OD$. Cela confère à $ABCD$ la nature de parallélogramme. De plus, la donnée numérique $OA = 3,5$ cm, associée au codage montrant que $OA = OB = OC = OD$, nous permet de conclure que $AC = OA + OC = 3,5 + 3,5 = 7$ cm et $BD = OB + OD = 3,5 + 3,5 = 7$ cm. Les diagonales sont donc de même longueur. La propriété est formelle : 'Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle'. La réponse à la première question est donc affirmative. Il est essentiel pour l'élève de citer précisément la propriété utilisée pour obtenir l'intégralité des points lors de l'épreuve du Brevet.

Question 2 : Peut-on affirmer que ABCD est un carré ?

Un carré est un rectangle qui possède, en plus, ses diagonales perpendiculaires ou deux côtés consécutifs de même longueur. Pour vérifier si $ABCD$ est un carré, nous devons vérifier si l'angle en $O$ est droit, c'est-à-dire si le triangle $OAB$ est rectangle en $O$. Nous connaissons les longueurs des trois côtés du triangle $OAB$ : $OA = 3,5$ cm, $OB = 3,5$ cm et $AB = 5$ cm. Utilisons la réciproque du théorème de Pythagore. Calculons d'une part le carré du plus long côté : $AB^2 = 5^2 = 25$. D'autre part, la somme des carrés des deux autres côtés : $OA^2 + OB^2 = 3,5^2 + 3,5^2 = 12,25 + 12,25 = 24,5$. Nous constatons que $AB^2 \neq OA^2 + OB^2$ ($25 \neq 24,5$). D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $OAB$ n'est pas rectangle en $O$. Par conséquent, les diagonales de $ABCD$ ne sont pas perpendiculaires. On en conclut que $ABCD$ est un rectangle mais n'est pas un carré. Cette étape nécessite une grande précision dans les calculs décimaux.

Les pièges classiques à éviter au Brevet de Mathématiques

L'erreur la plus fréquente dans ce type d'exercice est de conclure visuellement. De nombreux élèves auraient tendance à dire 'Il a l'air d'un carré' ou 'Les angles ont l'air droits'. Or, la mention 'main levée' interdit tout jugement visuel. Un autre piège réside dans la confusion entre les conditions nécessaires et suffisantes : avoir des diagonales égales suffit pour le rectangle, mais pas pour le carré. Enfin, attention aux erreurs de calcul lors du passage au carré des nombres décimaux comme $3,5$. L'utilisation de la calculatrice est autorisée, mais il faut bien retranscrire les étapes du calcul sur la copie. N'oubliez jamais que l'absence d'unité (cm) dans les étapes intermédiaires est tolérée, mais elle est obligatoire dans la conclusion finale.

Méthodologie de rédaction pour l'épreuve de 3ème

Pour maximiser ses points en géométrie, il faut adopter la structure 'Je sais que', 'Or', 'Donc'. 1. **Je sais que** : Listez les données (longueurs $OA, OB, AB$ et le codage). 2. **Or** : Énoncez la propriété mathématique ou le théorème (Théorème de Pythagore, propriétés des quadrilatères). 3. **Donc** : Appliquez à votre cas précis et donnez la conclusion. Une rédaction propre et aérée permet au correcteur de suivre votre logique même si une petite erreur de calcul s'est glissée. Dans cet exercice précis, la distinction entre la réciproque et la contraposée de Pythagore montre une excellente maîtrise du programme de 3ème et valorise grandement la copie auprès du jury.