Introduction aux notions du Brevet 2021

Cet exercice, issu du sujet de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB) 2021 pour la zone Métropole, est un modèle de polyvalence. Il mobilise trois piliers fondamentaux du programme de troisième : les pourcentages, les volumes (géométrie dans l'espace) et le théorème de Pythagore. L'objectif est double : évaluer la capacité de l'élève à traiter des données numériques réelles (écologie et gestion des déchets) et à modéliser un objet du quotidien (un composteur) par des formes géométriques complexes. La réussite de cet exercice repose sur la rigueur de la lecture de l'énoncé et la précision des conversions d'unités.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calculer une diminution en pourcentage

La première question demande de calculer la baisse de production de déchets entre 2007 et 2017. Nous savons que la production initiale était de $5,2$ tonnes par habitant et que la baisse est de $6,5\,\%$. Pour répondre, il faut multiplier la valeur initiale par le taux de pourcentage : $5,2 \times \frac{6,5}{100}$. Ce calcul simple permet de déterminer la quantité de tonnes économisées. L'astuce pédagogique consiste à bien distinguer la valeur de la diminution de la valeur finale. Ici, on ne demande que la diminution.

2. Géométrie plane : Le théorème de Pythagore dans le trapèze

La seconde partie bascule sur l'étude d'un composteur. Pour vérifier sa contenance, nous devons d'abord analyser sa face latérale, représentée par le trapèze $ABCD$.

Calcul de la longueur CH

D'après la figure, le grand côté $[AB]$ mesure $67$ cm et le petit côté opposé mesure $39$ cm. Le segment $[CH]$ correspond à la différence de longueur entre la base totale et la partie rectangulaire projetée. On effectue donc : $CH = 67 - 39 = 28$ cm. C'est une étape de soustraction géométrique indispensable avant d'appliquer toute autre formule.

Démonstration de la hauteur DH

Le triangle $DHC$ est rectangle en $H$. Nous connaissons l'hypoténuse $CD = 53$ cm et la base $CH = 28$ cm. C'est ici qu'intervient le théorème de Pythagore. On écrit l'égalité : $CD^2 = CH^2 + DH^2$. En remplaçant par les valeurs : $53^2 = 28^2 + DH^2$, soit $2809 = 784 + DH^2$. On en déduit $DH^2 = 2809 - 784 = 2025$. La racine carrée de $2025$ est bien $45$. La hauteur $DH$ est donc de $45$ cm.

Aire du trapèze

L'énoncé fournit gentiment la formule : $Aire = \frac{(Petit\,côté + Grand\,côté) \times Hauteur}{2}$. En remplaçant : $Aire = \frac{(39 + 67) \times 45}{2} = \frac{106 \times 45}{2} = 53 \times 45 = 2385$ cm². Cette valeur sera la base de notre calcul de volume.

3. Géométrie dans l'espace et calcul de contenance

Le composteur est composé d'un pavé droit et d'un prisme droit. Pour calculer le volume total, on peut considérer l'objet comme un prisme droit dont la base est la face latérale entière (le trapèze $ABCD$ plus le rectangle inférieur).

Cependant, une méthode plus simple consiste à décomposer le volume. La hauteur totale de l'objet est de $1,1$ m, soit $110$ cm. La hauteur de la partie trapézoïdale est de $45$ cm. La partie inférieure (le pavé droit) a donc une hauteur de $110 - 45 = 65$ cm. Le volume total est la somme du volume du pavé et du prisme supérieur, ou plus simplement : $Volume = Aire\,latérale \times profondeur$.

La profondeur est de $70$ cm. Calculons l'aire de la face latérale totale : c'est l'aire du trapèze $ABCD$ ($2385$ cm²) additionnée à l'aire du rectangle de base ($67 \times 65 = 4355$ cm²). Aire totale = $6740$ cm². Le volume total est $6740 \times 70 = 471\,800$ cm³.

Les Pièges à Éviter

• La conversion des unités : C'est le piège majeur. Le volume est trouvé en cm³, mais l'affirmation est en m³. Rappel : $1$ m³ = $1\,000\,000$ cm³. Donc $471\,800$ cm³ = $0,4718$ m³.
• La confusion des hauteurs : Ne confondez pas la hauteur du prisme ($70$ cm) avec la hauteur du trapèze ($45$ cm) ou la hauteur totale de l'objet ($1,1$ m). Chaque nombre a un rôle précis dans la formule $V = B \times h$.
• L'énoncé de Pythagore : N'oubliez jamais de préciser que le triangle est rectangle avant d'utiliser le théorème, sinon vous perdrez des points de rédaction.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez explicitement les formules utilisées (Aire du trapèze, Volume).
2. Détaillez vos calculs de conversion. Écrire "$1,1$ m = $110$ cm" montre au correcteur votre maîtrise des échelles.
3. Répondez à la question finale par une phrase claire : "$0,4718$ m³ est proche de $0,5$ m³, l'affirmation est donc vraie". Justifiez toujours votre conclusion par la comparaison numérique.