Introduction aux notions du Brevet 2021

Cet exercice issu du Brevet des collèges 2021 (Zone Amérique du Sud) est un modèle du genre. Il s'agit d'un QCM à justifications, format très fréquent à l'examen. Il balaye un large spectre du programme de cycle 4 : l'Arithmétique, le Calcul littéral, les Fonctions, les Statistiques, et enfin la Géométrie avec les incontournables théorèmes de Pythagore et de Thalès. Maîtriser ce type d'exercice, c'est s'assurer une base de points solide pour l'obtention de la mention.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Affirmation 1 : Arithmétique et Multiples

L'affirmation porte sur la notion de multiple commun. Un nombre $A$ est multiple de $B$ s'il existe un entier $k$ tel que $A = B \times k$. Ici, nous devons vérifier si $72$ est dans la table de $12$ et de $18$.
Calculons : $12 \times 6 = 72$ et $18 \times 4 = 72$. Puisque $72$ est le résultat d'un produit entier pour les deux nombres, l'affirmation est VRAIE. En pédagogie, on rappellera aussi la méthode de la division euclidienne : $72 \div 12 = 6$ (reste $0$) et $72 \div 18 = 4$ (reste $0$).

Affirmation 2 : Le piège classique du Calcul Littéral

L'affirmation propose que $(n-5)^2 = n^2 - 5^2$. C'est l'erreur la plus fréquente en 3ème ! Il s'agit d'une identité remarquable de la forme $(a-b)^2$.
Le développement correct est $a^2 - 2ab + b^2$, soit ici $n^2 - 10n + 25$. On voit immédiatement que le terme $-10n$ est absent de l'égalité proposée. Pour prouver que c'est FAUX, une méthode efficace est de tester avec une valeur simple, par exemple $n=1$. D'un côté $(1-5)^2 = (-4)^2 = 16$. De l'autre $1^2 - 5^2 = 1 - 25 = -24$. Comme $16 \neq -24$, l'égalité est fausse pour au moins une valeur, donc elle n'est pas vraie pour tout $n$.

Affirmation 3 : Antécédent et Fonctions

On nous donne $f(x) = 2x + 5$. On cherche l'antécédent de $6$. Chercher l'antécédent revient à résoudre l'équation $f(x) = 6$.
Posons l'équation : $2x + 5 = 6$. En isolant $x$, on obtient $2x = 6 - 5$, soit $2x = 1$. On en déduit $x = \dfrac{1}{2}$. L'affirmation est donc VRAIE. Attention à ne pas confondre 'image' et 'antécédent'. Si on avait cherché l'image de $6$, on aurait calculé $f(6) = 2 \times 6 + 5 = 17$.

Affirmation 4 : Statistiques et Moyenne

La moyenne se calcule en sommant toutes les valeurs de la série et en divisant par l'effectif total ($6$ jours ici).
Somme : $5 + 7 + 11 + 8 + 5 + 6 = 42$.
Moyenne : $\dfrac{42}{6} = 7$.
L'affirmation annonce $6,5$, ce qui est FAUX. Une erreur classique ici serait d'oublier une valeur ou de mal compter l'effectif total.

Affirmation 5 : Géométrie et Théorème de Pythagore

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Pour calculer la longueur de l'hypoténuse $AC$, on utilise le théorème de Pythagore.
D'après le théorème : $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
En remplaçant par les valeurs : $AC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.
On calcule la racine carrée : $AC = \sqrt{225} = 15$ cm. L'affirmation est VRAIE.

Affirmation 6 : Droites parallèles et Réciproque de Thalès

On étudie les droites $(AC)$ et $(DE)$. On regarde les rapports de longueurs depuis le sommet commun $B$ : $\dfrac{BD}{BA}$ et $\dfrac{BE}{BC}$.
$\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{BE}{BC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.
Les rapports sont égaux. Les points $B, D, A$ et $B, E, C$ sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont parallèles. L'affirmation est VRAIE.

Les Pièges à éviter

1. En Arithmétique : Ne confondez pas 'multiple' et 'diviseur'. $72$ est un multiple de $12$, mais $12$ est un diviseur de $72$.
2. En Calcul Littéral : Ne distribuez jamais le carré sur une addition ou une soustraction sans utiliser les identités remarquables.
3. En Géométrie : Pour Thalès, vérifiez toujours l'ordre des points sur les droites avant de conclure.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir tous les points au Brevet :
- Citez toujours le nom du théorème utilisé (Pythagore, Thalès).
- Précisez les conditions d'application (triangle rectangle, points alignés).
- Écrivez toujours la formule littérale avant de passer aux calculs numériques.
- N'oubliez pas l'unité (cm, °C) dans votre phrase de conclusion.