Introduction aux Fonctions et à la Modélisation

L'exercice 5 du sujet de Brevet des Collèges 2021 (Zone Étrangers) est un incontournable pour tout élève de 3ème. Il combine trois piliers du programme de mathématiques : les fonctions (linéaires, affines et constantes), la lecture graphique et la résolution d'équations. À travers la gestion budgétaire d'une saison de ski, cet énoncé demande de traduire une situation concrète en langage mathématique. Comprendre comment passer d'un tarif (formule de prix) à une expression algébrique est une compétence clé évaluée par le jury.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice se décompose en trois phases : le calcul numérique, la modélisation algébrique et l'interprétation graphique.

1. Complétion du Tableau de Valeurs

Pour remplir le tableau sans erreur, il faut identifier la structure de chaque coût :

• Formule A : C'est une situation de proportionnalité simple. Le prix est égal à $36,5 \times x$. Pour 6 jours : $36,5 \times 6 = 219$ €. Pour 10 jours : $365$ €.
• Formule B : C'est une structure affine. On paye un fixe plus une part variable. Pour 6 jours : $90 + (18,5 \times 6) = 90 + 111 = 201$ €. Pour 10 jours : $90 + 185 = 275$ €.
• Formule C : C'est une fonction constante. Peu importe le nombre de jours, le prix reste $448,50$ €.

2. Modélisation et Équations

Dans cette partie, on passe aux fonctions. La question 2.a porte sur la proportionnalité. Seule la fonction $h(x) = 36,5x$ est linéaire (de la forme $ax$), ce qui caractérise la proportionnalité. Pour la question 2.c, résoudre l'équation $36,5x = 90 + 18,5x$ permet de trouver le point d'équilibre entre les formules A et B. En soustrayant $18,5x$ de chaque côté, on obtient $18x = 90$, soit $x = 5$. Pour 5 jours de ski, les deux formules coûtent exactement le même prix.

3. Analyse et Lecture Graphique

Le graphique est le juge de paix. L'élève doit savoir identifier les droites :

• $(d_1)$ est horizontale, c'est donc la fonction constante $g(x) = 448,5$ (Formule C).
• $(d_2)$ passe par l'origine, c'est la fonction linéaire $h(x) = 36,5x$ (Formule A).
• $(d_3)$ ne passe pas par l'origine et monte, c'est la fonction affine $f(x) = 90 + 18,5x$ (Formule B).

Pour la question 3.b, avec un budget de $320$ €, on trace une ligne horizontale à $y=320$. On regarde quelle droite permet d'aller le plus loin sur l'axe des abscisses sans dépasser cette ligne. C'est la droite $(d_3)$ (Formule B) qui permet de skier environ 12 jours.

Les Pièges à Éviter

Le piège classique réside dans la lecture des unités. Sur l'axe des ordonnées, un grand carreau représente $40$ €. Il faut être très précis lors de la lecture. Une autre erreur commune est d'oublier d'ajouter l'abonnement de $90$ € dans la formule B lors du calcul manuel. Enfin, faites attention à la distinction entre "plus avantageux" (le moins cher) et "maximum de jours".

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Nommez toujours les fonctions et les droites lors de vos explications.
2. Pour les lectures graphiques, laissez apparaître les pointillés de lecture sur votre copie (si le sujet le permet) ou décrivez précisément votre méthode : "Par lecture graphique, pour $y=320$, on trouve $x \approx ...$".
3. N'oubliez pas l'unité (€ ou jours) dans vos phrases de conclusion.