Introduction aux notions du Brevet : Trigonométrie et Algorithmique

L'exercice 4 du sujet de mathématiques du Brevet (DNB) 2023 pour la Métropole est une application concrète des mathématiques au monde réel : la construction d'un escalier. Ce problème pluridisciplinaire mobilise trois compétences majeures du programme de 3ème : la recherche d'informations dans un énoncé technique, l'utilisation de la trigonométrie pour vérifier des normes de confort, et enfin la maîtrise de l'algorithmique via le logiciel Scratch. Cet exercice est typique des épreuves actuelles qui cherchent à évaluer la capacité de l'élève à lier la géométrie classique et la pensée computationnelle.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé nous donne plusieurs dimensions clés : une hauteur totale d'escalier de \(272\) cm, une hauteur de marche de \(17\) cm et une profondeur de marche de \(27\) cm. La première étape consiste à extraire ces données pour comprendre la structure globale.

Question 1 : Calculs de base et proportionnalité

Dans la question 1.a, on nous demande de justifier le nombre de marches. Il s'agit d'une simple opération de division. Si la hauteur totale est de \(272\) cm et que chaque marche s'élève de \(17\) cm, le calcul est : \(272 \div 17 = 16\). Ce résultat confirme qu'il faut bien 16 marches. Pour la question 1.b, la longueur \(AB\) correspond à la somme des profondeurs des marches. Puisqu'il y a 16 marches et que chaque marche a une profondeur de \(27\) cm, la distance horizontale totale est de \(16 \times 27 = 432\) cm. Ici, le piège serait de se tromper dans le nombre d'intervalles, mais la figure aide à visualiser que chaque 'montée' est associée à un 'plat'.

Question 2 : Application de la trigonométrie (Calcul d'angle)

L'enjeu ici est de vérifier si l'escalier est "agréable". On considère le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\). On connaît le côté opposé à l'angle \(\widehat{BAC}\), qui est la hauteur totale \(BC = 272\) cm, et le côté adjacent \(AB = 432\) cm. La formule de la tangente est donc l'outil idéal : \(\tan(\widehat{BAC}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{BC}{AB}\). En remplaçant par les valeurs : \(\tan(\widehat{BAC}) = \frac{272}{432}\). À l'aide de la calculatrice (touche Arctan ou \(\tan^{-1}\)), on trouve environ \(32,14^{\circ}\). L'énoncé demandant un arrondi au degré près, on obtient \(32^{\circ}\). Puisque \(32\) est bien compris entre \(25\) et \(40\), l'escalier permet une montée agréable.

Question 3 : Programmation Scratch et logique de boucle

La partie algorithmique demande de compléter un script pour dessiner cet escalier de 16 marches. La structure de répétition est évidente : on répète 16 fois le motif d'une marche. Le stylo s'oriente initialement à \(90^{\circ}\) (vers la droite). Pour dessiner une marche, le lutin doit d'abord monter (tourner à gauche de \(90^{\circ}\) et avancer de 17 pas), puis se diriger vers la droite (tourner à droite de \(90^{\circ}\) et avancer de 27 pas).
Lignes à compléter :
Ligne 5 : répéter 16 fois
Ligne 6 : tourner de 90 degrés (vers la gauche)
Ligne 7 : avancer de 17 pas
Ligne 9 : avancer de 27 pas.

Les Pièges à éviter

Plusieurs erreurs classiques sont à surveiller dans ce type d'exercice :
1. Les unités : Assurez-vous que toutes les mesures sont dans la même unité (ici le cm).
2. Mode de la calculatrice : Pour la trigonométrie, vérifiez que votre calculatrice est en mode 'Degré' et non 'Radiant'.
3. Sens de rotation dans Scratch : Ne confondez pas 'tourner à gauche' et 'tourner à droite'. Dans Scratch, tourner à gauche diminue l'angle de direction standard tandis que tourner à droite l'augmente.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
- Citez toujours le triangle dans lequel vous travaillez et précisez qu'il est rectangle : "Dans le triangle ABC rectangle en B...".
- Énoncez la formule trigonométrique en lettres avant d'utiliser les chiffres.
- Pour Scratch, recopiez les blocs avec soin en respectant la casse et les termes exacts.