Introduction aux notions du Brevet 2023

Cet exercice issu de la session Amérique du Nord 2023 est un excellent test de polyvalence pour les élèves de 3ème. Il balaye cinq domaines fondamentaux du programme : l'arithmétique (décomposition en facteurs premiers), les probabilités (calculs de base), le calcul littéral (double distributivité), la géométrie dans l'espace (volumes et conversions) et enfin les agrandissements-réductions. Maîtriser ce type d'exercice "Situations indépendantes" permet de sécuriser des points précieux en démontrant une agilité mathématique sur des questions courtes mais précises.

Analyse Méthodique de l'Arithmétique (Situation 1)

La première question demande de décomposer le nombre $780$ en produit de facteurs premiers. C'est un grand classique. Pour réussir, il faut tester la divisibilité par les nombres premiers dans l'ordre croissant : $2, 3, 5, 7, 11, 13$. Comme $780$ est pair, on commence par $2$. On obtient $780 = 2 \times 390$. On continue : $390 = 2 \times 195$. Ensuite, $195$ n'est pas pair, mais la somme de ses chiffres ($1+9+5=15$) est divisible par $3$, donc $195 = 3 \times 65$. Enfin, $65 = 5 \times 13$, et $13$ est un nombre premier. La décomposition finale est donc $780 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 13$. Astuce : Ne confonds pas les diviseurs (comme 10) et les diviseurs premiers !

Probabilités : Tirage de cartes (Situation 2)

Dans un jeu de $32$ cartes, chaque carte est unique. La probabilité d'obtenir le $8$ de pique est donc simplement de $\frac{1}{32}$. Pour la question b, il faut compter les issues favorables pour "un roi ou un cœur". Il y a $4$ rois et $8$ cœurs dans le jeu. Cependant, attention au piège classique : le roi de cœur est compté deux fois ! Le calcul correct est donc $4 (rois) + 8 (cœurs) - 1 (roi de cœur) = 11$ cartes favorables. La probabilité est $\frac{11}{32}$. En probabilité, l'utilisation du connecteur "OU" implique l'addition des probabilités moins l'intersection.

Calcul Littéral et Développement (Situation 3)

L'expression $A = (2x + 5)(3x - 4)$ nécessite l'usage de la double distributivité. Il faut multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde. Cela donne : $A = 2x \times 3x + 2x \times (-4) + 5 \times 3x + 5 \times (-4)$. En simplifiant, on obtient $A = 6x^2 - 8x + 15x - 20$. L'étape finale est la réduction des termes semblables (les $x$) : $A = 6x^2 + 7x - 20$. Piège à éviter : Attention aux erreurs de signes, notamment sur le terme $-8x$ et le produit constant $-20$.

Volumes et Conversions (Situation 4)

Le prisme droit présenté a une base triangulaire. Pour calculer son volume, on utilise la formule $V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur du prisme}$. La base est un triangle rectangle de côtés $80 \text{ cm}$ et $60 \text{ cm}$. Son aire est $\frac{80 \times 60}{2} = 2400 \text{ cm}^2$. Le volume est donc $2400 \times 120$ (la longueur du prisme) $= 288\,000 \text{ cm}^3$. Pour la conversion en litres, on rappelle que $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$. Pour passer de $\text{cm}^3$ à $\text{dm}^3$, on divise par $1000$ (car c'est un volume en 3D). Ainsi, $288\,000 \text{ cm}^3 = 288 \text{ dm}^3 = 288 \text{ Litres}$.

Agrandissement et Aires (Situation 5)

La situation traite du lien entre le coefficient d'agrandissement $k$ et l'évolution des aires. Ici, $k = 3$. La règle d'or à retenir pour le Brevet est la suivante : si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$. L'aire du polygone 2 est donc $3^2 \times \text{Aire du polygone 1} = 9 \times 11 = 99 \text{ cm}^2$. Une erreur courante consiste à multiplier simplement par $3$ (ce qui donnerait $33$), mais c'est une faute grave en géométrie.

Conseils de Rédaction et Pièges à éviter

Même si certaines questions précisent "aucune justification n'est attendue", nous vous conseillons de toujours poser vos calculs au brouillon pour éviter les étourderies. Pour le volume, n'oubliez jamais de vérifier l'unité finale. Pour le calcul littéral, prenez le temps d'écrire l'étape intermédiaire de développement avant de réduire. Enfin, pour les agrandissements, rappelez bien la règle de $k^2$ sur votre copie pour montrer au correcteur que vous maîtrisez la propriété fondamentale.