Introduction aux Mathématiques Appliquées : Le Cas des Panneaux Solaires

Cet exercice du Brevet 2023 (Polynésie) est un modèle de transversalité. Il demande à l'élève de mobiliser plusieurs compétences fondamentales : la recherche d'informations dans un document technique, l'utilisation du théorème de Pythagore, la maîtrise de la trigonométrie, l'application du théorème de Thalès et le calcul de pourcentages. C'est un exercice qui ancre les mathématiques dans le réel, traitant de la transition énergétique à travers l'installation de panneaux photovoltaïques.

Analyse de la Question 1 : Pythagore et Cohérence Technique

La première étape consiste à valider les dimensions de l'équerre. Le triangle $HPS$ est rectangle en $P$. Pour vérifier que la distance $HS$ est environ de $166,4$ cm, nous utilisons le théorème de Pythagore : $HS^2 = HP^2 + PS^2$. En remplaçant par les valeurs $HP = 90$ cm et $PS = 140$ cm, on obtient $HS^2 = 8100 + 19600 = 27700$. La racine carrée de $27700$ est environ $166,433$ cm, soit $166,4$ cm au millimètre près.

Pour la conformité du support (Question 1.b), l'enjeu est de calculer un pourcentage de la longueur réelle du panneau. Le panneau mesure $1700$ mm, soit $170$ cm. Le fabricant conseille un support couvrant au moins $95\%$ de cette longueur. Calculons : $170 \times 0,95 = 161,5$ cm. Puisque $HS = 166,4$ cm et que $166,4 > 161,5$, le support est conforme. Le piège ici est de ne pas convertir les millimètres en centimètres avant la comparaison.

Analyse de la Question 2 : La Trigonométrie pour l'Optimisation

Le fonctionnement optimal dépend de l'angle $\widehat{HSP}$. Dans le triangle rectangle $HPS$, nous connaissons le côté opposé ($HP = 90$ cm) et le côté adjacent ($PS = 140$ cm). La formule appropriée est donc la tangente : $\tan(\widehat{HSP}) = \frac{HP}{PS} = \frac{90}{140} = \frac{9}{14}$. En utilisant la touche 'Arctan' ou '2nd Tan' de la calculatrice, on trouve $\widehat{HSP} \approx 32,7\degres$. Cet angle est bien compris entre $30\degres$ et $35\degres$. L'installation est donc optimale.

Analyse de la Question 3 : Thalès et la Barre de Renfort

L'introduction d'une barre de renfort $[UT]$ perpendiculaire à $[PS]$ nous place dans une configuration classique de Thalès. Puisque $[UT]$ et $[HP]$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(PS)$, elles sont parallèles entre elles. Dans le triangle $HPS$, avec $U \in [HS]$ et $T \in [PS]$, nous appliquons l'égalité des rapports : $\frac{ST}{SP} = \frac{UT}{HP}$. On cherche $ST$, donc : $ST = \frac{UT \times SP}{HP} = \frac{50 \times 140}{90}$. On obtient $ST \approx 77,777...$, ce qui donne $77,8$ cm une fois arrondi au millimètre.

Analyse de la Question 4 : Budgétisation et Optimisation de l'Achat

Cette question finale demande une rigueur méthodologique exemplaire. Olivia doit construire trois équerres et utiliser trois barres latérales. Calcul de la longueur totale d'acier :

• Une équerre est composée de $HP + PS + HS + UT$ (en supposant que le contour et le renfort sont faits du même tube). Soit $90 + 140 + 166,4 + 50 = 446,4$ cm.
• Pour 3 équerres : $446,4 \times 3 = 1339,2$ cm, soit environ $13,39$ m.
• Les 3 barres latérales mesurent $4$ m chacune, soit $12$ m.
• Total : $13,39 + 12 = 25,39$ m.

Les tubes sont vendus par unités de $4,5$ m. Combien de tubes faut-il acheter ? $25,39 / 4,5 \approx 5,64$. Olivia doit donc acheter 6 tubes (on ne peut pas acheter de fraction d'unité). Le coût est de $6 \times 37 = 222$ euros. Le budget minimum est bien respecté.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, n'oubliez jamais de citer explicitement les théorèmes utilisés ("D'après le théorème de Pythagore dans le triangle... rectangle en..."). Précisez systématiquement les unités de mesure dans vos réponses finales. Une réponse sans unité peut être pénalisée, même si le calcul est juste. Enfin, pour les arrondis, vérifiez toujours si l'énoncé demande un arrondi au dixième (0,1) ou au millimètre (qui correspond ici au dixième de centimètre).