Introduction aux notions de Géométrie du Brevet

L'exercice 1 du sujet de Brevet 2023 pour la zone Asie est un modèle du genre. Il combine habilement les piliers du programme de mathématiques de 3ème : le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, et la gestion des aires et de la proportionnalité. Ce problème s'inscrit dans un contexte concret : l'aménagement d'un centre de loisirs. Savoir modéliser une situation réelle par des figures géométriques (triangles, quadrilatères) est une compétence clé évaluée par les correcteurs. Dans cette analyse, nous allons décortiquer chaque étape pour transformer cet énoncé en une source de points faciles pour l'examen.

Analyse Méthodique : Question par Question

1. Calcul de la longueur CD : L'importance de l'alignement

La première question semble triviale, mais elle demande de la rigueur dans la lecture de l'énoncé. On nous indique que les points $C, E$ et $D$ sont alignés dans cet ordre. On dispose des mesures $CE = 30$ m et $ED = 10$ m. Pour calculer la longueur totale du segment $[CD]$, il suffit d'effectuer une addition de segments : $CD = CE + ED$.
Calcul : $30 + 10 = 40$. La longueur $CD$ est donc de $40$ mètres. Conseil : Toujours citer l'alignement des points pour justifier l'addition des longueurs.

2. Calcul de la longueur CG : Le réflexe Pythagore

On nous précise que les droites $(DG)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires. Cela signifie que le triangle $CDG$ est rectangle en $D$. C'est le signal immédiat pour utiliser le théorème de Pythagore. L'objectif est de trouver l'hypoténuse $CG$.
Raisonnement : Dans le triangle $CDG$ rectangle en $D$, d'après le théorème de Pythagore, on a l'égalité : $CG^2 = CD^2 + DG^2$.
En remplaçant par les valeurs : $CG^2 = 40^2 + 24^2 = 1600 + 576 = 2176$.
Pour obtenir $CG$, on calcule la racine carrée : $CG = \sqrt{2176} \approx 46,647...$ m.
L'énoncé demande un arrondi au dixième, donc $CG \approx 46,6$ m. Attention à bien observer le chiffre des centièmes pour l'arrondi !

3. Calcul de la clôture EF : L'application de Thalès

La question nous demande de démontrer que $EF = 18$ m. Nous savons que les droites $(EF)$ et $(DG)$ sont parallèles et que les points $C, E, D$ d'une part et $C, F, G$ d'autre part sont alignés. Nous sommes dans la configuration classique du théorème de Thalès (configuration en triangles emboîtés).
Rédaction : Les droites $(ED)$ et $(FG)$ sont sécantes en $C$. Puisque $(EF) // (DG)$, d'après le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports : $\frac{CE}{CD} = \frac{CF}{CG} = \frac{EF}{DG}$.
On utilise $\frac{CE}{CD} = \frac{EF}{DG}$, soit $\frac{30}{40} = \frac{EF}{24}$.
Par un produit en croix : $EF = \frac{30 \times 24}{40} = \frac{720}{40} = 18$ m. Le résultat est cohérent avec l'énoncé.

4. Budget Gazon : Aires et Proportionnalité

Ici, on quitte la géométrie pure pour entrer dans la gestion de données. Il faut d'abord calculer l'aire de la 'zone de jeux' (triangle $EFC$).
Étape 1 : Aire du triangle. Le triangle $EFC$ est rectangle en $E$ (car $(EF) // (DG)$ et $(DG) \perp (CD)$). Son aire se calcule par : $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \frac{EF \times CE}{2} = \frac{18 \times 30}{2} = 270$ m².
Étape 2 : Nombre de sacs. Un sac couvre $140$ m². $\frac{270}{140} \approx 1,92$. Il faut donc acheter $2$ sacs (on ne peut pas acheter de fraction de sac).
Étape 3 : Coût total. $2 \times 22,90 = 45,80$ €. Le budget à prévoir est de $45,80$ €.

5. Comparaison des surfaces : Potager vs Zone de jeux

Le potager est le quadrilatère $DEFG$. Pour trouver son aire, la méthode la plus simple est la soustraction : Aire du grand triangle $CDG$ - Aire du petit triangle $EFC$.
Aire de $CDG = \frac{CD \times DG}{2} = \frac{40 \times 24}{2} = 480$ m².
Aire du potager = $480 - 270 = 210$ m².
Comparaison : $210$ m² (potager) < $270$ m² (zone de jeux). La direction a donc tort : la zone de jeux est plus grande que le potager.

Les Pièges à Éviter

• L'unité : N'oubliez jamais de préciser 'mètres' ou 'mètres carrés'.
• L'arrondi : Si l'énoncé demande au dixième, ne donnez pas l'entier ou le centième.
• La justification : Dire 'J'utilise Pythagore' ne suffit pas. Il faut préciser que le triangle est rectangle. Pour Thalès, il faut citer les droites parallèles.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points sur cet exercice, soignez la présentation. Encadrez vos résultats finaux. Utilisez des connecteurs logiques comme 'Or', 'Donc', 'On en déduit que'. Une copie propre et bien structurée met le correcteur dans de bonnes dispositions. Rappelez-vous que la démarche compte autant que le résultat numérique.