Introduction aux notions fondamentales du sujet

Cet exercice 5 du Brevet de Mathématiques 2023 (Nouvelle-Calédonie) est un modèle de polyvalence. Il regroupe quatre piliers du programme de troisième : les fonctions (graphiques et algébriques), l'utilisation du tableur, le calcul littéral (développement) et la résolution d'équations. L'objectif est de vérifier votre capacité à passer d'une représentation à une autre : de la courbe au tableau, puis de la formule de calcul à l'expression littérale.

Analyse méthodique de l'exercice

1. Analyse graphique et identification de fonction

La première question demande si la fonction $f$ est affine. En observant la représentation graphique $\mathcal{C}_f$, on constate qu'il s'agit d'une courbe (une parabole) et non d'une droite. Or, par définition, la représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite. Justification attendue : « La représentation graphique de $f$ n'est pas une droite passant ou non par l'origine, donc $f$ n'est pas une fonction affine ».

2. Lecture de données et Tableur

Le passage du graphique au tableau de valeurs est une compétence clé. Pour $x = -1$, on cherche le point de la courbe d'abscisse $-1$ et on lit son ordonnée $y = -4$. Pour la partie tableur, l'analyse des formules proposées est cruciale. La formule =(B1 + 3)*(B1 - 1) est la seule cohérente avec les valeurs du tableau (par exemple pour $x=-3$, $(-3+3)*(-3-1) = 0*(-4) = 0$). Attention : la formule =SOMME(B1 : G1) calculerait la somme des antécédents, ce qui n'a aucun sens pour obtenir l'image.

3. Étude de la fonction affine $g$

La fonction $g(x) = 2x + 1$ est une fonction affine.
• Calcul d'image : Pour l'image de $-2$, on remplace $x$ par $-2$, soit $g(-2) = 2 \times (-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.
• Calcul d'antécédent : On cherche $x$ tel que $g(x) = 2$. On résout l'équation $2x + 1 = 2$, d'où $2x = 1$ et donc $x = 0,5$.
• Tracé graphique : La droite passe par l'ordonnée à l'origine $(0 ; 1)$ et possède un coefficient directeur de $2$.

4. Calcul Littéral et Équation de point d'intersection

Le développement de $f(x) = (x + 3)(x - 1)$ utilise la double distributivité : $x^2 - x + 3x - 3 = x^2 + 2x - 3$. Enfin, l'équation $f(x) = g(x)$ revient à chercher les points d'intersection des deux courbes. Algébriquement, cela donne $x^2 + 2x - 3 = 2x + 1$, ce qui se simplifie en $x^2 - 3 = 1$, soit $x^2 = 4$. Les solutions sont $x = 2$ et $x = -2$.

Les Pièges à éviter

1. Confusion Image/Antécédent : Rappelez-vous que l'image est sur l'axe des ordonnées ($y$) et l'antécédent sur l'axe des abscisses ($x$).
2. Signes dans le développement : Lors du calcul de $(x + 3)(x - 1)$, ne faites pas d'erreur sur le produit $3 \times (-1)$.
3. Syntaxe Tableur : N'oubliez pas le signe `=` au début de la formule et utilisez les astérisques `*` pour la multiplication.

Conseils de rédaction

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez explicitement le graphique pour les lectures de valeurs : « Par lecture graphique, on trouve que... ».
2. Détaillez chaque étape de la résolution d'équation.
3. Pour le tracé de la droite $g$, placez au moins deux points calculés au préalable et utilisez une règle. Une rédaction soignée montre au correcteur que votre raisonnement est structuré et logique.