Introduction aux Notions Fondamentales du Brevet 2023

Cet exercice issu du sujet de Polynésie 2023 est un cas d'école complet. Il mobilise trois piliers du programme de mathématiques de troisième : la trigonométrie dans le triangle rectangle, le théorème de Pythagore pour le calcul de longueurs, et le calcul de volume d'un prisme droit. L'énoncé place l'élève dans une situation concrète : la conception d'une rampe d'accès pour une terrasse. Ce type d'exercice 'tâche complexe' est récurrent au Brevet car il demande de lier plusieurs compétences géométriques et numériques tout en gérant les conversions d'unités.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'analyse commence par l'étude de la rampe modélisée par le triangle $ABC$ rectangle en $C$. Les données initiales sont : la hauteur $AC = 30$ cm, la pente $AB = 124$ cm, et la largeur de la rampe $BE = 9$ m.

Question 1 : Maîtrise de la Trigonométrie

Pour déterminer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$, nous devons identifier les côtés par rapport à cet angle dans le triangle $ABC$. Nous connaissons le côté opposé $AC$ ($30$ cm) et l'hypoténuse $AB$ ($124$ cm). La formule adéquate est donc le sinus : $\sin(\widehat{ABC}) = \frac{Côté\:Opposé}{Hypoténuse} = \frac{AC}{AB}$.

Le calcul donne : $\sin(\widehat{ABC}) = \frac{30}{124}$. En utilisant la touche $arcsin$ ou $\sin^{-1}$ de la calculatrice, on obtient une valeur. L'élève doit être vigilant à la consigne d'arrondi : on demande le degré près. C'est un point de rédaction crucial pour obtenir l'intégralité des points. Le raisonnement doit être clairement exposé : citation du triangle rectangle, choix du rapport trigonométrique, application numérique et conclusion.

Question 2 : Application du Théorème de Pythagore

Pour montrer que $BC \approx 120$ cm, deux méthodes sont possibles : la trigonométrie (avec le cosinus ou la tangente) ou le théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore est souvent plus précis car il évite d'utiliser un angle déjà arrondi. La rédaction type est : 'Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, d'après le théorème de Pythagore, on a $AB^2 = AC^2 + BC^2$'.

En isolant $BC$, on obtient $BC^2 = AB^2 - AC^2 = 124^2 - 30^2$. Le résultat $15376 - 900 = 14476$ mène à $BC = \sqrt{14476} \approx 120,31$. L'arrondi à $120$ cm est donc cohérent. Cette étape est essentielle car elle valide la base du prisme pour la suite de l'exercice.

Question 3 : Calcul de Volume et Gestion des Unités

Le calcul du volume d'un prisme droit est le produit de l'aire de la base par la hauteur (ici la largeur de la rampe $BE$). Attention au piège majeur : les unités ! $AC$ et $BC$ sont en centimètres, tandis que $BE$ est en mètres et le béton en $m^3$.

Il est préférable de tout convertir en mètres dès le départ : $AC = 0,3$ m, $BC \approx 1,2$ m et $BE = 9$ m. L'aire de la base triangulaire est $Aire = \frac{base \times hauteur}{2} = \frac{1,2 \times 0,3}{2} = 0,18$ $m^2$. Le volume théorique est alors $V = 0,18 \times 9 = 1,62$ $m^3$. En comparant avec les $2$ $m^3$ livrés, on conclut que le volume est suffisant.

Question 4 : Résolution d'Équation Géométrique

Ici, on cherche $BC$ tel que le volume total soit exactement de $2$ $m^3$ sans changer $AC$ et $BE$. On pose l'équation : $Volume = (\frac{BC \times 0,3}{2}) \times 9 = 2$. On simplifie : $BC \times 0,15 \times 9 = 2$, soit $BC \times 1,35 = 2$. Le résultat $BC = \frac{2}{1,35} \approx 1,4814$ m, soit environ $148$ cm au centimètre près.

Les Pièges à Éviter

• Les Unités : Ne jamais additionner ou multiplier des centimètres avec des mètres sans conversion préalable.
• La Figure : Ne pas se fier à l'aspect visuel (la figure n'est pas à l'échelle), se fier uniquement aux données chiffrées.
• L'Arrondi : Un arrondi trop précoce dans les calculs intermédiaires peut fausser le résultat final. Gardez les valeurs exactes sur la calculatrice.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser ses points, chaque étape doit être justifiée. Ne vous contentez pas d'écrire le résultat. Précisez toujours dans quel triangle vous travaillez et quel théorème vous appliquez. Pour les calculs de volume, rappelez la formule littérale avant l'application numérique. Une réponse bien présentée est une réponse qui rassure le correcteur sur votre maîtrise du raisonnement mathématique.