Introduction aux notions clés du Brevet 2025

Cet exercice issu du sujet de Métropole 2025 est une synthèse parfaite des attendus du cycle 4 en géométrie. Il mobilise quatre piliers fondamentaux du programme de troisième : le Théorème de Thalès, le Théorème de Pythagore (et sa réciproque), la Trigonométrie ainsi que la notion de Triangles semblables. Pour réussir cette épreuve, il ne suffit pas de connaître les formules ; il faut savoir identifier quelle configuration géométrique appelle quel outil mathématique.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice commence par une configuration de droites sécantes et parallèles, un environnement classique pour Thalès.

1. Calcul de longueurs : La soustraction et Thalès

Dans la question 1.a, on demande de montrer que $CE = 4,5$ cm. C'est un point de départ simple mais crucial. Les points B, E et C sont alignés dans cet ordre. On connaît la longueur totale $[BC]$ qui mesure $7,5$ cm et la portion $[BE]$ qui mesure $3$ cm. Le calcul est immédiat : $CE = BC - BE = 7,5 - 3 = 4,5$ cm. Conseil du professeur : Toujours vérifier sur le schéma la cohérence visuelle de votre résultat.

La question 1.b introduit le Théorème de Thalès. On nous précise que les droites $(BD)$ et $(EF)$ sont parallèles. Comme les points C, E, B d'une part et C, F, D d'autre part sont alignés, nous sommes dans une configuration en 'triangle emboîté' (sommet commun C). L'égalité des rapports nous donne : $\frac{CE}{CB} = \frac{CF}{CD} = \frac{EF}{BD}$. En utilisant $\frac{4,5}{7,5} = \frac{EF}{6}$, un produit en croix nous permet de trouver $EF = \frac{4,5 \times 6}{7,5} = 3,6$ cm.

2. Démontrer qu'un triangle est rectangle : La Réciproque de Pythagore

La question 2 porte sur la nature du triangle CEF. On connaît désormais les trois côtés : $CE = 4,5$ cm (calculé en 1.a), $EF = 3,6$ cm (calculé en 1.b) et $CF = 2,7$ cm (donné dans l'énoncé). Pour démontrer qu'il est rectangle, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore.

Étape 1 : Identifier le plus long côté. Ici, c'est $[CE]$ avec $4,5$ cm. On calcule son carré : $CE^2 = 4,5^2 = 20,25$.
Étape 2 : Calculer la somme des carrés des deux autres côtés : $EF^2 + CF^2 = 3,6^2 + 2,7^2 = 12,96 + 7,29 = 20,25$.
Étape 3 : Conclusion. On constate que $CE^2 = EF^2 + CF^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CEF est rectangle en F.

3. Trigonométrie et Triangles semblables

La question 3.a nous ramène au triangle ABC, rectangle en B. On cherche l'angle $\widehat{BCA}$. Nous connaissons le côté opposé $AB = 10$ cm et le côté adjacent $BC = 7,5$ cm. La formule de la tangente est donc la plus appropriée : $\tan(\widehat{BCA}) = \frac{AB}{BC} = \frac{10}{7,5}$. À l'aide de la calculatrice (touche Arctan ou $Tan^{-1}$), on trouve $\widehat{BCA} \approx 53^\circ$.

Enfin, pour la question 3.b sur les triangles semblables, il existe plusieurs méthodes. La plus élégante consiste à comparer les angles. Le triangle ABC est rectangle en B, le triangle CEF est rectangle en F. Ils possèdent tous deux un angle droit. De plus, ils partagent l'angle $\widehat{C}$ (sommet commun). Si deux triangles ont deux angles deux à deux égaux, alors ils sont semblables. Une autre méthode aurait consisté à vérifier la proportionnalité des trois côtés, mais la méthode des angles est ici plus rapide.

Les Pièges à éviter

Attention à la rédaction ! Pour Thalès, oubliez souvent de citer explicitement que les droites sont parallèles. Sans cette mention, le théorème ne peut s'appliquer. Pour Pythagore, ne confondez pas le théorème (pour calculer une longueur) et la réciproque (pour prouver qu'un triangle est rectangle). Enfin, vérifiez toujours que votre calculatrice est en mode 'Degré' avant d'attaquer la trigonométrie, sous peine d'obtenir des résultats en radians totalement erronés.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Annoncez toujours le théorème que vous utilisez ('Dans le triangle..., rectangle en..., d'après le théorème de...').
2. Présentez vos calculs clairement, ligne par ligne.
3. Encadrez votre résultat final et n'oubliez jamais l'unité (cm, degrés, etc.). La rigueur est aussi importante que le résultat juste aux yeux du correcteur.