Introduction à la géométrie du Brevet 2025

L'exercice 2 du sujet de mathématiques 2025 pour la zone Amérique du Nord est une pièce maîtresse pour tout élève de troisième. Il regroupe les piliers fondamentaux de la géométrie plane : le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, la trigonométrie et le calcul d'aires. Cet exercice est particulièrement formateur car il demande non seulement des capacités de calcul pur, mais aussi une grande rigueur dans la démonstration géométrique. Nous allons décomposer chaque étape pour comprendre comment articuler ces différents outils mathématiques.

Analyse pas à pas de l'exercice

1. Calcul de la longueur AB : L'usage de Pythagore

La première question nous place dans le triangle ABC. L'énoncé précise qu'il est rectangle en B. C'est l'indice immédiat pour l'utilisation du théorème de Pythagore. Nous connaissons l'hypoténuse AC (50 m) et le côté BC (30 m). Le calcul se présente ainsi : $AC^2 = AB^2 + BC^2$, d'où $AB^2 = AC^2 - BC^2$. En remplaçant par les valeurs : $AB^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600$. La racine carrée de 1600 nous donne exactement 40 m. La précision ici est cruciale ; n'oubliez jamais de vérifier si le résultat est cohérent avec l'unité de mesure fournie.

2. Démontrer le parallélisme des droites (DE) et (BC)

C'est une question classique de logique géométrique. On sait que les points A, B, E et M sont alignés, ce qui signifie que la droite (AB) est la même que la droite (AE). Or, l'énoncé nous dit que le triangle ADE est rectangle en E, donc $(DE) \perp (AE)$. De même, le triangle ABC est rectangle en B, donc $(BC) \perp (AB)$. Propriété fondamentale de 6ème/5ème : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Cette démonstration est indispensable avant de pouvoir appliquer le théorème de Thalès dans la question suivante.

3. Calcul de DE via le théorème de Thalès

Puisque nous venons de prouver que $(DE) // (BC)$ et que les points A, C, D d'une part, et A, B, E d'autre part sont alignés dans cet ordre, nous sommes dans une configuration de Thalès. Les rapports d'agrandissement-réduction s'écrivent : $\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{DE}$. Nous utilisons l'égalité $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{DE}$, soit $\frac{50}{70} = \frac{30}{DE}$. Par un produit en croix, nous obtenons $DE = (70 \times 30) / 50 = 2100 / 50 = 42$ m. La valeur est exacte, ce qui valide notre raisonnement précédent.

4. Trigonométrie et longueur EM

Le triangle DEM est rectangle en E. Nous cherchons le côté adjacent EM, connaissant le côté opposé DE (42 m) et l'angle $\widehat{DME} = 60^\circ$. La formule de la tangente est ici la plus appropriée : $\tan(\widehat{DME}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{DE}{EM}$. On en déduit $EM = \frac{DE}{\tan(60^\circ)}$. En utilisant la calculatrice, $\tan(60^\circ) \approx 1,732$. Ainsi, $EM \approx 42 / 1,732 \approx 24,248$ m. L'énoncé demandant une valeur approchée, 24,2 m est le résultat attendu.

5. Calcul de l'aire du triangle AMD

Pour calculer l'aire du triangle AMD, on utilise la formule $\text{Base} \times \text{Hauteur} / 2$. La base choisie est AM. Pour la trouver, il faut d'abord calculer AE via Thalès ($\frac{AB}{AE} = \frac{50}{70} \implies AE = 56$ m). Ensuite, $AM = AE - EM = 56 - 24,2 = 31,8$ m. La hauteur correspondant à cette base est le segment [DE] car il est perpendiculaire à la droite (AE). L'aire est donc $(31,8 \times 42) / 2 = 667,8$ m².

Les pièges à éviter lors de l'examen

Le piège principal dans ce type d'exercice réside dans l'oubli des conditions d'application des théorèmes. Pour Pythagore et la trigonométrie, mentionnez toujours que le triangle est rectangle. Pour Thalès, citez impérativement l'alignement des points et le parallélisme des droites. Une autre erreur commune est la confusion entre les rapports de Thalès ; vérifiez toujours que vous mettez les longueurs du petit triangle au numérateur et celles du grand triangle au dénominateur (ou l'inverse), mais ne mélangez pas les deux dans une même équation.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Le correcteur ne note pas seulement le résultat, mais surtout la démarche. Structurez vos réponses en trois étapes : 1. Ce que je sais (les données de l'énoncé), 2. La propriété ou le théorème utilisé, 3. Le calcul et la conclusion. N'oubliez jamais d'ajouter l'unité (mètres ou mètres carrés) en fin de calcul. Une figure codée au brouillon peut aussi vous aider à ne pas vous tromper de segment lors du remplacement par les valeurs numériques.