Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2013 pour la zone Asie, est un classique de la géométrie plane. Il sollicite une compétence transversale majeure du programme de troisième : la prise d'initiatives. Contrairement à des exercices plus guidés, l'élève doit ici décomposer une figure complexe pour identifier les outils mathématiques nécessaires. Les notions clés abordées sont le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, ainsi que le calcul de périmètres incluant des arcs de cercle.

Analyse méthodologique étape par étape

La question posée est simple en apparence : quel est le périmètre de la piste cyclable ? Cependant, pour y répondre, il faut calculer sept longueurs distinctes : $AE$, $EF$, $FG$, l'arc $GH$, $HI$, $IJ$ et $JA$.

1. Calcul de la largeur du rectangle ABCD

Pour avancer, nous avons besoin de la largeur $BC$. Nous savons que $ABCD$ est un rectangle et que sa diagonale $[AC]$ mesure $312$ m alors que sa longueur $[AB]$ mesure $288$ m. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. D'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$312^2 = 288^2 + BC^2$
$97344 = 82944 + BC^2$
$BC^2 = 97344 - 82944 = 14400$
$BC = \sqrt{14400} = 120$ m.

2. Utilisation du théorème de Thalès pour le segment EF

L'énoncé indique que $(EF) \parallel (AC)$. Les points $B, E, A$ et $B, F, C$ sont alignés. Nous sommes dans une configuration de Thalès (configuration papillon ou réduction). Le triangle $BEF$ est une réduction du triangle $BAC$. Le rapport de réduction est $k = \frac{BE}{BA}$. Sur le schéma, le segment marqué $48$ m correspond à $BE$.
Calculons $EF$ : $\frac{BE}{BA} = \frac{EF}{AC} \Rightarrow \frac{48}{288} = \frac{EF}{312}$.
On remarque que $288 / 48 = 6$, donc $EF = \frac{312}{6} = 52$ m.
Profitons-en pour calculer $BF$ : $\frac{BF}{BC} = \frac{1}{6} \Rightarrow BF = \frac{120}{6} = 20$ m.

3. Calcul de la longueur de l'arc de cercle GH

L'arc $GH$ est un quart de cercle. Pour calculer sa longueur, il nous faut son rayon $R$. Observons le côté $[BC]$. Il est composé de $BF + FG + \text{rayon}$.
On sait que $BC = 120$ m, $BF = 20$ m et l'énoncé donne $FG = 52$ m.
Donc $R = 120 - (20 + 52) = 120 - 72 = 48$ m.
La longueur d'un cercle complet est $2 \times \pi \times R$. Pour un quart de cercle : $L_{GH} = \frac{2 \times \pi \times 48}{4} = 24\pi \approx 75,4$ m.

4. Calcul du segment de jonction HI et du segment IJ

Le segment $HI$ se trouve sur le côté $[CD]$. On a $HI = CD - DI - \text{rayon}$. Puisque $CD = AB = 288$ m, $DI = 29$ m (donné) et $R = 48$ m, on a :
$HI = 288 - 29 - 48 = 211$ m.
Pour le segment $IJ$, on utilise à nouveau Pythagore dans le triangle rectangle en $D$ :
$IJ^2 = DI^2 + DJ^2 = 29^2 + 72^2 = 841 + 5184 = 6025$.
$IJ = \sqrt{6025} \approx 77,6$ m.

5. Synthèse et calcul final

Il reste à déterminer $JA = AD - DJ = 120 - 72 = 48$ m et $AE = AB - BE = 288 - 48 = 240$ m.
Périmètre total $\mathcal{P} = AE + EF + FG + GH + HI + IJ + JA$
$\mathcal{P} = 240 + 52 + 52 + 24\pi + 211 + 77,6 + 48 \approx 751$ m.

Les pièges à éviter

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice de type 'tâche complexe' est l'oubli d'un segment ou la mauvaise lecture des cotes. Attention à ne pas confondre le rayon de l'arc avec le côté complet du rectangle. Un autre piège réside dans la précision des arrondis : gardez les valeurs exactes (comme $24\pi$) jusqu'au calcul final pour éviter de cumuler les erreurs d'approximation.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Citez explicitement les théorèmes utilisés (Pythagore, Thalès).
2. Vérifiez que les conditions d'application sont réunies (triangle rectangle, droites parallèles).
3. Présentez clairement chaque étape du calcul avec l'unité (mètres).
4. Même si vous n'arrivez pas au bout, laissez vos calculs intermédiaires : ils rapportent des points au titre de la recherche.