Introduction aux notions du Brevet : Calcul littéral et Fonctions

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2013 pour la zone Asie est un classique indémodable des épreuves de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). Il mobilise des compétences fondamentales du cycle 4, notamment le calcul littéral, la manipulation des fonctions, la résolution d'équations et l'interprétation d'un programme de calculs. Ce type d'exercice est conçu pour évaluer la capacité de l'élève à passer d'un énoncé textuel (un algorithme de calcul) à une expression algébrique formalisée, puis à une étude de fonction. Comprendre le lien entre ces différentes représentations est la clé pour réussir l'épreuve de mathématiques. Dans cet article, nous allons décortiquer chaque question pour vous fournir une méthode rigoureuse et des conseils pédagogiques de haut niveau.

Analyse méthodique du programme de calcul

Le programme de calcul proposé est simple en apparence mais cache des subtilités algébriques. Il se décompose en trois étapes : 1. Choisir un nombre $x$ ; 2. Lui ajouter 5, ce qui donne $x + 5$ ; 3. Prendre le carré de cette somme, ce qui nous donne l'expression $(x + 5)^2$.

Question 1 : Calcul d'images numériques

La première question demande de tester le programme avec deux valeurs : 3 et -7. C'est ce qu'on appelle, en langage fonctionnel, calculer l'image d'un nombre.
Pour 3 : $(3 + 5)^2 = 8^2 = 64$.
Pour -7 : $(-7 + 5)^2 = (-2)^2 = 4$.
Conseil pédagogique : Faites attention au signe lors du calcul de $(-2)^2$. Un nombre négatif élevé au carré devient toujours positif. C'est une erreur fréquente chez les candidats au Brevet.

Question 2 : Recherche d'antécédents et limites du domaine

La question 2 introduit la notion d'antécédent de manière implicite.
a) 'Quel nombre choisir pour obtenir 25 ?' revient à résoudre l'équation $(x + 5)^2 = 25$. Intuitivement, on sait que $5^2 = 25$ et $(-5)^2 = 25$. Donc soit $x+5 = 5$ (ce qui donne $x=0$), soit $x+5 = -5$ (ce qui donne $x=-10$).
b) 'Peut-on obtenir -25 ?' Cette question teste votre compréhension des propriétés des puissances. Un carré est toujours positif ou nul dans l'ensemble des nombres réels. Par conséquent, il est impossible d'obtenir un résultat négatif comme -25 en sortie de ce programme. La justification attendue par les correcteurs est : 'Le carré d'un nombre réel est toujours positif'.

Question 3 : Modélisation fonctionnelle et identification

Le passage au formalisme de la fonction $f$ est une étape cruciale. On cherche quelle expression parmi les propositions correspond au programme.
L'expression correcte est $x \longmapsto (x + 5)^2$. Les autres propositions sont des pièges classiques : $x^2 + 25$ est une erreur de développement (oubli du double produit), $x^2 + 5$ oublie le carré de la somme, et $2(x+5)$ confond le carré avec le double.
Ensuite, pour vérifier si -2 est un antécédent de 9, on calcule $f(-2) = (-2 + 5)^2 = 3^2 = 9$. L'affirmation est donc vraie. Savoir vérifier un résultat est une compétence d'auto-évaluation primordiale.

Question 4 : Résolution d'équations complexes

La résolution de $(x + 5)^2 = 25$ demande une méthode rigoureuse. On peut utiliser la forme $A^2 = B^2$, ce qui implique $A = B$ ou $A = -B$.
$(x + 5)^2 = 5^2$ donne $x + 5 = 5$ ou $x + 5 = -5$.
On retrouve ainsi les deux solutions : $x = 0$ et $x = -10$. Cette question permet de valider les nombres trouvés par tâtonnement à la question 2a. La déduction finale est simple : les nombres que l'on peut choisir au départ pour obtenir 25 sont 0 et -10.

Les pièges à éviter absolument

1. Le faux développement : Ne jamais écrire que $(x+5)^2 = x^2 + 25$. C'est l'erreur la plus sanctionnée au Brevet. Utilisez l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ si vous devez développer, même si ici la forme factorisée est plus utile.
2. L'oubli de la solution négative : Dans l'équation $X^2 = 25$, beaucoup d'élèves oublient la solution -5. Souvenez-vous qu'une équation de degré 2 possède souvent deux solutions.
3. La confusion entre image et antécédent : L'image est le résultat (en sortie), l'antécédent est le nombre de départ.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour obtenir tous les points lors de l'examen du Brevet, structurez vos réponses. Commencez chaque question en citant la propriété utilisée. Par exemple : 'On cherche le nombre $x$ tel que son image par la fonction $f$ soit 25'. Utilisez des connecteurs logiques comme 'Or', 'Donc', 'On en conclut que'. Une copie propre avec des étapes de calcul claires flatte le correcteur et limite le risque d'erreur d'inattention. N'oubliez pas d'encadrer vos résultats finaux.

Pourquoi cet exercice est essentiel pour le DNB 2024 ?

Bien que cet exercice date de 2013, sa structure est identique à ce que l'on retrouve dans les sujets actuels. Les programmes de calcul sont le support privilégié pour lier l'arithmétique, l'algèbre et l'algorithmique. Maîtriser cet exercice, c'est s'assurer une base solide pour toutes les questions de modélisation mathématique que vous rencontrerez le jour J. En pratiquant ces automatismes, vous gagnerez en rapidité et en confiance.