Introduction aux notions de l'exercice

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2013 en Polynésie est une étude de cas complète mêlant géométrie plane et grandeurs physiques. Il s'appuie sur le parcours d'un cross scolaire au collège La Bounty. Pour réussir cet exercice, l'élève doit mobiliser plusieurs compétences fondamentales du cycle 4 : l'utilisation du théorème de Pythagore dans un triangle rectangle, le calcul de périmètres de polygones complexes, la maîtrise de la proportionnalité, et enfin le calcul de vitesses moyennes impliquant des conversions de durées. Cet exercice est particulièrement formateur car il demande une lecture attentive d'un schéma technique et une capacité à extraire des données numériques pour les réinjecter dans des formules mathématiques.

Analyse méthodologique : Question par question

1. Démontrer une longueur avec Pythagore

La première question demande de montrer que la longueur $NT$ est égale à $194$ m. Pour y parvenir, il ne faut pas mesurer sur le schéma, mais utiliser le raisonnement déductif. Le schéma présente une ligne pointillée créant un triangle rectangle imaginaire, que nous appellerons $TUN$, où $U$ est le point sur le segment $[ON]$ tel que $(TU)$ est perpendiculaire à $(ON)$.

Pour appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle $TUN$ rectangle en $U$, nous avons besoin des longueurs des deux autres côtés : $UN$ et $UT$.
- Le côté $UN$ s'obtient par soustraction sur l'axe horizontal : $UN = ON - OU$. Puisque $OU = BY = 90$ m (car $OBYU$ forme un rectangle), on a $UN = 234 - 90 = 144$ m.
- Le côté $UT$ s'obtient par soustraction sur l'axe vertical : $UT = OB - YT = 155 - 25 = 130$ m.
En appliquant Pythagore : $NT^2 = UN^2 + UT^2 = 144^2 + 130^2 = 20736 + 16900 = 37636$. La racine carrée de $37636$ est bien $194$. La longueur $NT$ est donc de $194$ mètres.

2. Calcul du périmètre du parcours

Le tour de parcours est défini par le trajet $B \rightarrow Y \rightarrow T \rightarrow N \rightarrow O \rightarrow B$. C'est un polygone à cinq côtés. Pour calculer sa longueur totale, il suffit d'additionner les longueurs de chaque segment qui le compose. Attention à ne pas inclure la ligne pointillée qui est une construction interne.

Calcul : $P = BY + YT + TN + NO + OB$.
En remplaçant par les valeurs : $P = 90 + 25 + 194 + 234 + 155$.
Le résultat final est $698$ mètres. Il est crucial ici de bien vérifier que toutes les unités sont identiques (en mètres) avant d'additionner.

3. Multiplication et proportionnalité

Les élèves de 3ème effectuent 4 tours. C'est une application directe de la proportionnalité simple. Si un tour mesure $698$ m, alors quatre tours mesurent : $698 \times 4 = 2792$ m. La distance totale de la course est de $2,792$ km. Cette étape prépare l'élève à la question suivante sur la vitesse.

4. Calcul de vitesse moyenne et conversions

Terii parcourt ces $2792$ m en $10$ minutes et $42$ secondes. Pour calculer sa vitesse en $m/s$, la première étape indispensable est de convertir la durée totale en secondes :
$10$ min $42$ s $= (10 \times 60) + 42 = 600 + 42 = 642$ secondes.
La formule de la vitesse est $v = d / t$.
$v = 2792 / 642 \approx 4,3489...$ m/s.
L'énoncé demande un arrondi au centième près. On regarde le troisième chiffre après la virgule (8), ce qui nous fait arrondir au supérieur : $4,35$ m/s.

5. Comparaison de performances : Le défi Georges Richmond

Cette question ouverte demande de comparer la performance de Terii à celle d'un champion. Georges Richmond parcourt $15$ km ($15000$ m) en $55$ minutes et $11$ secondes. Convertissons le temps de Georges en secondes :
$(55 \times 60) + 11 = 3300 + 11 = 3311$ secondes.
Calculons la vitesse de Georges : $v = 15000 / 3311 \approx 4,53$ m/s.
En comparant les deux vitesses ($4,35$ m/s pour Terii contre $4,53$ m/s pour Georges), on constate que Georges Richmond court plus vite. Terii ne pourrait donc probablement pas le battre s'il maintenait sa vitesse actuelle.

Les Pièges à éviter

1. **L'oubli des unités** : Ne jamais effectuer de calcul de vitesse sans s'assurer que la distance est en mètres et le temps en secondes si on veut un résultat en m/s.
2. **Mauvaise lecture du schéma** : Dans la question 1, beaucoup d'élèves oublient de soustraire les segments pour trouver les côtés du triangle rectangle. Ne confondez pas $ON$ ($234$ m) avec la base du triangle $UN$.
3. **L'arrondi** : Respectez toujours la consigne d'arrondi (centième = deux chiffres après la virgule).
4. **La comparaison de durées sans distance** : On ne peut pas comparer $10$ minutes et $55$ minutes directement sans ramener les performances à une unité commune, ici la vitesse.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation. Pour Pythagore, citez toujours le nom du triangle et précisez qu'il est rectangle. Pour les calculs de vitesse, écrivez la formule littérale $v = d/t$ avant de passer aux chiffres. Enfin, pour la dernière question, n'ayez pas peur d'écrire vos recherches même si vous n'arrivez pas au bout : les correcteurs valorisent la démarche scientifique et l'esprit d'initiative.